2.2泛函变分提法 29 为自变函数，则泛函就是自变函数的函数。例如，应力和应变是坐标的函数，故 为自变函数：而应变能是应变和应力的函数，因而是泛函。 采用变分原理求解连续介质问题，首先需要建立一个标量泛函Ⅱ，它是未 知场函数“（例如位移场、应力场、温度场、水头场等）及其导数的函数，即 Ⅱ=。Fu0…an+eu0…jar 问题的真实解“使Ⅱ对于自变函数的微小变化！取驻值，即泛函的变分（变分 运算法则与微分运算法则基本相同)等于零 8I=0 2.14) 这就是变分原理。相对于问题的微分方程提法，变分原理称为问题的泛函变分 提法。问题的泛函可通过弱形式或其他方式得到，但有些问题至今未能建立起 泛函及变分原理。现介绍固体力学中的势能变分原理，并在虚位移原理的基础 上加以证明。 ②)系统总势能 在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能 的形式储存起来，这种能量称为应变能。单位体积内储存的应变能称为应变能 密度。通常以物体无变形状态作为计算应变能的零点。假定外力是从零开始逐 渐增加的，应力和应变也将从零开始逐渐增加，则应变能密度W。为 W.d 2.15) 整个物体的应变能为 U.=w.do 2.16) 对于线弹性体，。=DE并注意到D的对称性，有 w.=Je'Dde=之eTDe=之Defw 2.17) u,=∫nw,dn=2 Dedn=2。DwpwdD 2.18) 通常也是以物体无变形状态作为计算外力势能的零点。外力场通过力做功 释放一部分势能，故外力做功将使势能降低。因此，外力势能就是外力功的负 值。功是力与力的作用点在力作用方向上的位移之积，即力矢量与相应位移矢 量的标量积。于是，外力势能由下式计算为自变函数，则泛函就是自变函数的函数。例如，应力和应变是坐标的函数，故 为自变函数；而应变能是应变和应力的函数，因而是泛函。 采用变分原理求解连续介质问题，首先需要建立一个标量泛函 Π，它是未 知场函数ｕ（例如位移场、应力场、温度场、水头场等）及其导数的函数，即 Π ＝∫Ω Ｆ ｕ，ｕ （ ） ｘ，… ｄΩ＋∫Γ Ｅ ｕ，ｕ （ ） ｘ，… ｄΓ 问题的真实解ｕ使Π 对于自变函数的微小变化δｕ取驻值，即泛函的变分（变分 运算法则与微分运算法则基本相同）等于零 δΠ＝０ （２１４） 这就是变分原理。相对于问题的微分方程提法，变分原理称为问题的泛函变分 提法。问题的泛函可通过弱形式或其他方式得到，但有些问题至今未能建立起 泛函及变分原理。现介绍固体力学中的势能变分原理，并在虚位移原理的基础 上加以证明。 （２）系统总势能 在外力作用下，物体内部将产生应力σ 和应变ε，外力所做的功将以变形能 的形式储存起来，这种能量称为应变能。单位体积内储存的应变能称为应变能 密度。通常以物体无变形状态作为计算应变能的零点。假定外力是从零开始逐 渐增加的，应力和应变也将从零开始逐渐增加，则应变能密度 Ｗε为 Ｗε ＝∫ ε ０ σＴｄε＝∫ εｉｊ ０ σｉｊｄεｉｊ （２１５） 整个物体的应变能为 Ｕε ＝∫Ω ＷεｄΩ （２１６） 对于线弹性体，σ＝Ｄε并注意到Ｄ 的对称性，有 Ｗε ＝∫ ε ０ εＴＤｄε＝ １ ２εＴＤε＝ １ ２Ｄｉｊｋｌεｉｊεｋｌ （２１７） Ｕε ＝∫Ω ＷεｄΩ ＝ １ ２∫Ω εＴＤεｄΩ ＝ １ ２∫Ω ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ （２１８） 通常也是以物体无变形状态作为计算外力势能的零点。外力场通过力做功 释放一部分势能，故外力做功将使势能降低。因此，外力势能就是外力功的负 值。功是力与力的作用点在力作用方向上的位移之积，即力矢量与相应位移矢 量的标量积。于是，外力势能由下式计算 ２２ 泛函变分提法 ９２