28 第2章有限单元法基本原理 如前所述，虚位移是可能位移，故在满足给定位移的位移边界T上，虚位 移为零，因为它不再有任何变化的可能。这样，上式中的最后一项为零。由于应 变与位移满足几何方程，故有 c,=3（6+aM.2 考虑到应力张量的对称性，式()中最后一项为 ∫。aadn=Jna+gdn=j。acdn (d) 将式c),d)代入式)得 :dr-edn (e) 再代入式a)得 2.12a) 或 6eTado oufan+ou pdr 2.12b) 显然，上式的右边是外力在虚位移上所做的虚功W,而左边则是物体内应 力在虚应变上的虚应变能U。可见，式(2.12)即虚功方程，与其相对应的虚位 移原理可表述如下：如果物体在外力作用下处于平衡状态，那么在虚位移发生 时，物体的虚应变能等于外力所做虚功，即 8U=8W 2.13) 3)附加条件 根据前面的分析，在事先或自动满足几何方程、位移边界条件和本构方程这 3个附加条件的前提下，虚功方程将与弹性力学全部微分方程等价。其中的本 构方程是否为线性，在推导过程中并没有提出任何要求。因此，不论材料是线性 的还是非线性的，虚位移原理都成立。此外，要求事先满足的位移边界条件称为 强制边界条件。 2.2.3势能变分原理 1)一般形式 变分原理涉及到泛函的概念。简单地说，若把自变量（例如坐标）的函数称 如前所述，虚位移是可能位移，故在满足给定位移的位移边界Γｕ 上，虚位 移为零，因为它不再有任何变化的可能。这样，上式中的最后一项为零。由于应 变与位移满足几何方程，故有 δεｉｊ＝１ ２ （δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ） 考虑到应力张量的对称性，式（ｂ）中最后一项为 ∫Ω σｉｊδｕｉ，ｊｄΩ ＝∫Ω １ ２ （σｉｊδｕｉ，ｊ＋σｊｉδｕｊ，ｉ）ｄΩ ＝∫Ω σｉｊδεｉｊｄΩ （ｄ） 将式（ｃ），（ｄ）代入式（ｂ）得 ∫Ω σｉｊ，ｊδｕｉｄΩ ＝∫Γσ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ－∫Ω σｉｊδεｉｊｄΩ （ｅ） 再代入式（ａ）得 ∫Ω σｉｊδεｉｊｄΩ－∫Ω ｆｉδｕｉｄΩ－∫Γσ 珔ｐｉδｕｉｄΓ ＝０ （２１２ａ） 或 ∫Ω δεＴσｄΩ ＝∫Ω δｕＴ ｆｄΩ＋∫Γσ δｕＴ珔ｐｄΓ （２１２ｂ） 显然，上式的右边是外力在虚位移上所做的虚功δＷ，而左边则是物体内应 力在虚应变上的虚应变能δＵ。可见，式（２１２）即虚功方程，与其相对应的虚位 移原理可表述如下：如果物体在外力作用下处于平衡状态，那么在虚位移发生 时，物体的虚应变能等于外力所做虚功，即 δＵ＝δＷ （２１３） （３）附加条件 根据前面的分析，在事先或自动满足几何方程、位移边界条件和本构方程这 ３个附加条件的前提下，虚功方程将与弹性力学全部微分方程等价。其中的本 构方程是否为线性，在推导过程中并没有提出任何要求。因此，不论材料是线性 的还是非线性的，虚位移原理都成立。此外，要求事先满足的位移边界条件称为 强制边界条件。 ２２３ 势能变分原理 （１）一般形式 变分原理涉及到泛函的概念。简单地说，若把自变量（例如坐标）的函数称 ８２ 第２章 有限单元法基本原理