2.2泛函变分提法 27 2.2.2微分方程弱形式 )一般形式 通常情况下，可以对式2.10)进行分部积分，从而得到 JCT (v)D ()dQ+ET)F (u)dr=0 2.11) 其中，C,D,E,F是微分算子。通常式(2.11)称为微分方程的弱形式(weak fomm),相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。 由于分部积分的缘故，场函数“的导数的阶次在弱形式(2.11)中比在等效 积分形式2.10)中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续 性。当然，降低对“的连续性要求是以提高v和v的连续性要求为代价的。不 过，由于原来对v和下并无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。 ②)虚位移原理 在弹性力学问题中，微分方程包括3组控制方程和2组边界条件。假设位 移函数事先已经满足位移边界条件，且应变根据几何方程由位移确定，应力根据 本构方程由应变确定，则此位移仍需满足的条件只剩下平衡微分方程和应力边 界条件。将它们写成等效积分形式，并通过分部积分推导其弱形式。我们将发 现，弱形式就是熟知的虚位移原理。 注意到虚位移或位移变分（虚位移是指任意的、微小的可能位移，位移变分 也是这样定义的，以后在两者之间不作区分)的任意性，可不失一般性地以虚位 移u=[6u6me]下为任意函数p,而v=-F。这样，平衡微分方程和应力 边界条件的等效积分形式为 -nogj+f月a,dn+Jap所-D)a,dr=0 (a) 对上式中的第一项进行分部积分 Jnu,dn=Jnou）dn-Jndn 6) 根据散度定理(Green公式)，即 Jo0,dn=∫Uu,dr Jnay),dn=Jnp,dr=Jp,dr+Jrpadr２２２ 微分方程弱形式 （１）一般形式 通常情况下，可以对式（２１０）进行分部积分，从而得到 ∫Ω ＣＴ（ｖ）Ｄ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ ＥＴ（珔ｖ）Ｆ（ｕ）ｄΓ ≡０ （２１１） 其中，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 是微分算子。通常式（２１１）称为微分方程的弱形式（ｗｅａｋ ｆｏｒｍ），相对而言，定解问题的微分方程称为强形式（ｓｔｒｏｎｇｆｏｒｍ）。 由于分部积分的缘故，场函数ｕ的导数的阶次在弱形式（２１１）中比在等效 积分形式（２１０）中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续 性。当然，降低对ｕ的连续性要求是以提高ｖ和珔ｖ的连续性要求为代价的。不 过，由于原来对ｖ和珔ｖ并无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。 （２）虚位移原理 在弹性力学问题中，微分方程包括３组控制方程和２组边界条件。假设位 移函数事先已经满足位移边界条件，且应变根据几何方程由位移确定，应力根据 本构方程由应变确定，则此位移仍需满足的条件只剩下平衡微分方程和应力边 界条件。将它们写成等效积分形式，并通过分部积分推导其弱形式。我们将发 现，弱形式就是熟知的虚位移原理。 注意到虚位移或位移变分（虚位移是指任意的、微小的可能位移，位移变分 也是这样定义的，以后在两者之间不作区分）的任意性，可不失一般性地以虚位 移δｕ＝［δｕ δｖ δｗ］Ｔ 为任意函数珔ｖ，而ｖ＝－珔ｖ。这样，平衡微分方程和应力 边界条件的等效积分形式为 －∫Ω （σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）δｕｉｄΩ＋∫Γσ （ｎｊσｊｉ－珔ｐｉ）δｕｉｄΓ ＝０ （ａ） 对上式中的第一项进行分部积分 ∫Ω σｉｊ，ｊδｕｉｄΩ ＝∫Ω （σｉｊδｕｉ），ｊｄΩ－∫Ω σｉｊδｕｉ，ｊｄΩ （ｂ） 根据散度定理（Ｇｒｅｅｎ公式），即 ∫Ω Ｕｉ，ｉｄΩ ＝∫Γ ＵｉｎｉｄΓ 有 ∫Ω （σｉｊδｕｉ），ｊｄΩ ＝∫Γ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ ＝∫Γσ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ＋∫Γｕ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ （ｃ） ２２ 泛函变分提法 ７２