26 第2章有限单元法基本原理 [n 00 ny 0 n:7 [l 00 m 0 n7 n=00xn:0=0m01n0 L00nn,0nz」00nm01J 在位移有限单元法中，边界上的作用力将被转化成等效节点荷载。因此边 界条件是指结构在边界上所受到的位移约束，可表示为 u=u,v=v,w-w 2.9a) 或 4=u;(i=1,2,3) 2.9%) 其中，u,,为己知的边界位移分量。 2.2泛函变分提法 2.2.1等效积分形式 现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一点都必须 为零，因此有 J。'Am)dn=J,[oA1m）+A)+…]an=0 (a 其中，v=[o12 …]「是函数向量，它是一组同微分方程个数相等的任意可 积（在2内）函数。 不难证明，式a)是与微分方程组(2.1)完全等效的积分形式，即式(a)成立 则式2.1)成立。假设A(u)在2内不处处为零，则由于v可以任意选择，我们 选v为处处与A(u)同号的函数，于是vTA(u)在域内恒正。可见，要满足式 (a),必须A(u)=0 同理，假如边界条件(2.2)在边界上每点都得到满足，对于一组任意可积（在 Γ上)函数应当成立 JBdr=Jn[oBi）+2B2）+…]dr=0 6) 这样，就可得到与控制方程(2.1)和边界条件2.2)等效的积分形式 A (u)d+B (u)dr =0 2.10) 统称为微分方程的等效积分形式。 ｎ＝ ｎｘ ０ ０ ｎｙ ０ ｎｚ ０ ｎｙ ０ ｎｘ ｎｚ ０ ０ ０ ｎｚ ｎｙ ０ ｎ 熿 燀 燄 ｘ燅 ＝ ｌ ０ ０ ｍ ０ ｎ ０ ｍ ０ ｌ ｎ ０ ０ ０ ｎ ｍ ０ 熿 燀 燄 ｌ燅 在位移有限单元法中，边界上的作用力将被转化成等效节点荷载。因此边 界条件是指结构在边界上所受到的位移约束，可表示为 ｕ＝珔ｕ， ｖ＝珔ｖ， ｗ＝珡ｗ （２９ａ） 或 ｕｉ＝珔ｕｉ （ｉ＝１，２，３） （２９ｂ） 其中，珔ｕ，珔ｖ，珡ｗ 为已知的边界位移分量。 ２２ 泛函变分提法 ２２１ 等效积分形式 现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一点都必须 为零，因此有 ∫Ω ｖＴＡ（ｕ）ｄΩ ＝∫Ω ［ｖ１Ａ１ （ｕ）＋ｖ２Ａ２ （ｕ）＋…］ｄΩ ＝０ （ａ） 其中，ｖ＝［ｖ１ ｖ２ …］Ｔ 是函数向量，它是一组同微分方程个数相等的任意可 积（在Ω 内）函数。 不难证明，式（ａ）是与微分方程组（２１）完全等效的积分形式，即式（ａ）成立， 则式（２１）成立。假设Ａ（ｕ）在Ω 内不处处为零，则由于ｖ可以任意选择，我们 选ｖ为处处与Ａ（ｕ）同号的函数，于是ｖＴＡ（ｕ）在域内恒正。可见，要满足式 （ａ），必须Ａ（ｕ）≡０。 同理，假如边界条件（２２）在边界上每点都得到满足，对于一组任意可积（在 Γ 上）函数珔ｖ应当成立 ∫Γ 珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ ＝∫Γ ［ ］ 珔ｖ１Ｂ１ （ｕ）＋珔ｖ２Ｂ２ （ｕ）＋… ｄΓ ＝０ （ｂ） 这样，就可得到与控制方程（２１）和边界条件（２２）等效的积分形式 ∫Ω ｖＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ 珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ ＝０ （２１０） 统称为微分方程的等效积分形式。 ６２ 第２章 有限单元法基本原理