《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 §4.2连续函数的性质 教学章节：第四章连续函数一一§4.2连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。 教学要求： (1)掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明： 熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函 数的这些重要性质： (2)掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中 加以运用： (3)理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这 一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别， 教学重点：闭区间上连续函数的性质： 教学难点：一致连续的概念 散学过程 引言 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中 来 一、 连续函数的局部性质 性质1（局部有界性）若f在x,连续.则f在某U(x)有界 证明据∫在连续的定义，%>0,36>0，当xeU(o:)时，满足 f(x)-f(xo)< 现取8=l,相应存在。>0，当xeU(o:)时，就有 |f(x)川-|fo)川sfx)-f(xo)川<1，→f(x)≤|fxo)川+1=M 注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等. 性质2（局部保号性）若∫在连续，且f)>0(or<0)则对任何正数 r∈(0，fx)》(r∈fx),0),存在某U(x)有fx)>r>0fx)<r<0).《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 1 §4.2 连续函数的性质 教学章节：第四章 连续函数——§4.2 连续函数的性质 教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用. 教学要求： （1）掌握连续的局部性质（有界性、保号性）,连续函数的有理运算性质,并能加以证明； 熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函 数的这些重要性质； （2）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中 加以运用； （3）理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这 一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别. 教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念. 教学过程： 引言 函数的连续性是通过极限来定义的,因而有关函数极限的诸多性质,都可以移到连续函数中 来. 一、 连续函数的局部性质 性质 1（局部有界性）若 f 在 0 x 连续.则 f 在某 0 U x( ) 有界. 证明 据 f 在 0 x 连续的定义, 0, 0, U( ; ) ,      当 x  x0  时 满足 ( ) − ( )   0 f x f x ． 现取  =1,相应存在 0  0, 当 x  U( x0 ; 0 ) 时,就有 f (x) − f (x0 )  f (x) − f (x0 )  1 ,  f (x)  f (x0 ) + 1 = M ． 注 类似可证连续函数的其余局部性质,例如四则连续性质、局部保号性质等等． 性 质 2 （ 局 部 保 号 性 ） 若 f 在 0 x 连 续 , 且 0 f x or ( ) 0( 0)   则 对 任 何 正 数 0 r f x (0, ( )) 0 ( ( ( ),0)) r f x  ,存在某 0 U x( ) 有 f x r f x r ( ) 0( ( ) 0)    