《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 注①在具体应用局部保号性时，r取一些特殊值，如当化)>0时，可取r=,则存在 U化)，使得当x∈U化)有)>：②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存 在”，改为“连续”，把U(x)改为U°()其余一致. 性质3（四则运算）若∫和8在x点连续则∫±88食(8)≠0)也都在点，连续 问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质4（复合函数的连续性）若函数fx)在点xo连续，g(0在点连续，且“，=f(x) 则复合函数f(x刃在点x0连续. 证明E>0,6>0,当lu-%K可时|g0）-gu,)k 对上述可>0,36>0，当x-K6时u-4Hf)-f,k8 →E>0,36>0,只要x-xKδ便有8(fx》-gf》K6 即gLf(x引在点xo连续. 注)据连续性定义，上述定理可表为：mgfx=g/】=gmfx.(即函数运 算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.) 推论若8r)eC(a,),值域包含于a,),f0eCa,B),则几g(xeC(a,b) 例1求1 imsin(1-x2) 2)若复合函数g°∫的内函数∫当x→x,时极限为a,又外函数g在u=a连续，上面的等式 仍成立.（因此时若mf)=a=f化，）的话是显然的：若mf)=a≠f化)，或()在x=名 无定义，即x是∫的可去间断点时，只需对性质4的证明做修改：“1x-xk6”为“0x-xk6” 即可).故可用来求一些函数的极限. 的2来超服D四-要：@平 性质5（反函数的连续性）若函数∫在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f在其定义域 [Uf(a),f(b]或[f(b,f(a】上连续. 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 注 ①在具体应用局部保号性时, r 取一些特殊值,如当 0 f x( ) 0  时,可取 0 ( ) 2 f x r = ,则存在 0 U x( ) ,使得当 0 x U x  ( ) 有 0 ( ) ( ) 2 f x f x  ；②与极限相应的性质做比较可见,这里只是把“极限存 在”,改为“连续”,把 0 U x( ) 改为 0 0 U x( ) 其余一致. 性质 3 （四则运算）若 f 和 g 在 0 x 点连续,则 0 , , ( ( ) 0) f f g f g g x g    也都在点 0 x 连续. 问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４（复合函数的连续性） 若函数 f (x) 在点 0 x 连续, g(u) 在点 0 u 连续,且 ( ) 0 0 u = f x , 则复合函数 g[ f (x)] 在点 0 x 连续. 证明   0,  1  0 ,当 0 1 | u − u |  时 | ( ) − ( ) |  g u g u0 , 对上述  1  0 ,   0 ,当 | x − x0 |  时 0 0 1 | | | ( ) ( ) | u u f x f x − = −     0,   0 ,只要 | x − x0 |  便有 | ( ( )) − ( ( )) |  0 g f x g f x . 即 g[ f (x)] 在点 0 x 连续. 注 1) 据连续性定义,上述定理可表为： 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )] x x x x g f x g f x g f x → → = = .（即函数运 算与极限可以交换次序,条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限.） 推论 若 g(x) C (a,b) ,值域包含于 (,  ) , f (t) C (, ) ,则 f [g(x)] C (a,b) 例 1 求 2 1 limsin(1 ) x x → − . 2) 若复合函数 g f 的内函数 f 当 0 x x → 时极限为 a,又外函数 g 在 u a = 连续,上面的等式 仍成立.（因此时若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = = 的话是显然的；若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → =  ,或 f x( ) 在 0 x x = 无定义,即 0 x 是 f 的可去间断点时,只需对性质４的证明做修改：“ 0 | | x x −   ”为“ 0 0 | |  −  x x  ” 即可）.故可用来求一些函数的极限. 例 2 求极限（1） 0 sin lim 2 x x → x − ;（2） sin lim 2 x x → x − . 性质 5（反函数的连续性） 若函数 f 在 [ , ] a b 上严格单调并连续,则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( ), ( )] f a f b 或 [ ( ), ( )] f b f a 上连续