三、区滑上速铁路致的至本径质 第四章连续函数 海南大学数学系 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下，从几何上看，这些性质 都是十分明显的.但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§2给出.先给出下面的关于 “最大大值”的定义： 定义1设∫为定义在数集D上的函数，若存在x,∈D,使得对一切x∈D都有fx)≥fx) (fx)≤fx)),则称∫在D上有最大（小）值，并称fx)为∫在D上的最大（小）值. 例如，y=sinx,0,zym=1、ym=0, 一般而言，∫在其定义域上不一定有最大（小）值，即使x)在D上有界。 例如：x)=x,x∈0,1)无最大（小）值： 「1 f(x)= x∈0，D在[0,1门上也无最大（小）值。 2,x=0,1 (一)性质 个y 性质1（最大、最小值定理）若f在闭区间[a,上连续，则f在 B [a,b]上有最大值与最小值. y=f(x) 性质2（有界性定理）若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界. 思考①考虑函数fx)=x,x∈(0，)，g(x)= 仁，xe0,)上述结 2,x=0,1 论成立否？说明理由： ②∫要存在最大（小）值或有界是否一定要∫连续？是否一定要闭区间呢？ 结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。 性质3（介值定理）设f在[a,b1上连续，且f(@≠f(b).若u是介于f(a)和fb)之间的任 何实数，则至少存在一点xe(a,b),使得f(x)=4. 注表明若f在[a,b1]上连续，又fa)<fb)的话，则f在a,b1上可以取得f(a)和fb)之间 的一切值. 性质4（根存在定理）若∫在[a,b1上连续，且f(a)和fb)异号(f(a)fb)<0),则至少 存在一点x∈[a,b],使得f(x)=0. 几何意义若点A(a,f(a)和B(b,fb)》分别在x轴两侧，则连接A、B的曲线y=fx)与x 轴至少有一个交点. (二)闭区间上连续函数性质应用举例《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 二、 区间上连续函数的基本性质 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质.现将将基本的列举如下.从几何上看,这些性质 都是十分明显的.但要严格证明它们,还需其它知识,将在第七章§2 给出.先给出下面的关于 “最大大值”的定义： 定义 1 设 f 为定义在数集Ｄ上的函数,若存在 0 x D  ,使得对一切 x D 都有 0 f x f x ( ) ( )  （ 0 f x f x ( ) ( )  ）,则称 f 在Ｄ上有最大（小）值,并称 0 f x( ) 为 f 在Ｄ上的最大（小）值. 例如, y x = sin ,[0, ]  . max y =1、 min y = 0. 一般而言, f 在其定义域上不一定有最大（小）值,即使 f x( ) 在Ｄ上有界. 例如： f x x x ( ) , (0,1) =  无最大（小）值； 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x f x x x    =    = 在［０,1］上也无最大（小）值. (一) 性质 性质 1（最大、最小值定理）若 f 在闭区间 [ , ] a b 上连续,则 f 在 [ , ] a b 上有最大值与最小值. 性质 2（有界性定理）若 f 在 [ , ] a b 上连续,则 f 在 [ , ] a b 上有界. 思考 ①考虑函数 f x x x ( ) , (0,1) =  , 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x g x x x    =    = 上述结 论成立否？说明理由； ② f 要存在最大（小）值或有界是否一定要 f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的,而非必要的. 性质 3（介值定理）设 f 在 [ , ] a b 上连续,且 f a f b ( ) ( )  .若  是介于 f a( ) 和 f b( ) 之间的任 何实数,则至少存在一点 0 x a b ( , ),使得 0 f x( ) =  . 注 表明若 f 在 [ , ] a b 上连续,又 f a f b ( ) ( )  的话,则 f 在 [ , ] a b 上可以取得 f a( ) 和 f b( ) 之间 的一切值. 性质 4（根存在定理） 若 f 在 [ , ] a b 上连续,且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a f b ( ) ( ) 0   ）,则至少 存在一点 0 x a b [ , ],使得 0 f x( ) 0 = . 几何意义 若点 A a f a ( , ( )) 和 B b f b ( , ( )) 分别在 x 轴两侧,则连接Ａ、Ｂ的曲线 y f x = ( ) 与 x 轴至少有一个交点. (二) 闭区间上连续函数性质应用举例 y   O x a b y=f(x)