《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 关健构造适当的∫；构造适当的闭区间。 例9正明方程x-sK=0在0孕内至少有一实根 证明：令=-cosx,则)ec0经》 而 f0)=-1<0.=>0 由零点存在定理即可得证 例4证明方程x’+4x2-3x-1=0有三个实根 证明f)=x2+4x2-3x-1=0,则f0)=-lf0=1f-1)=5.mf=-∞ 故。<-1使得化)<0（也可算得f八-）=-11<0)由零点存在定理即得证， 例5证明若P是正数，n是正整数，则存在唯一正数xo使得G=P (通常地，x0称为P的n次正根（算术根），写作=P) 证明①存在性：令m)=x”(结论是说存在。>0使)=P,这类问题一般用介值定理)， 则fx)eC(-0,+):f0)=0<p,如b>0使b”>P则由介值定理结论成立 而血”=切，故b>0使6”>p. ②唯一性：X0”=名”=p(化>0x>0)→x0”-x”=(-xx++xm)=0 →X0-X=0即X0=x」 例6设f)eC0,且0≤f)≤L,证明至少存在一点ce0,使fe)=c(著名的 Brouwer不动点定理). 证明结论提示我们作F)=f)-x,求F)的零点 如fO)=0或f)=1则结论成立.现设f(0)>0,f)<1 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 4 关健 构造适当的 f ；构造适当的闭区间. 例 3 证明方程 x −cos x = 0 在 ) 2 (0,  内至少有一实根 证明：令 f (x) = x − cos x ,则 ]) 2 ( ) ([0,  f x C ；而 f (0) = −1  0 , 0 2 ) 2 ( =    f 由零点存在定理即可得证. 例 4 证明方程 4 3 1 0 3 2 x + x − x − = 有三个实根. 证明 f (x) = 4 3 1 0 3 2 x + x − x − = ,则 f (0) = −1, f (1) = 1, f (−1) = 5 , = − →− lim f (x) x , 故 x0  −1 使得 0 f x( ) 0  （也可算得 f (−5) = −11  0 ）由零点存在定理即得证. 例 5 证明若 p 是正数, n 是正整数,则存在唯一正数 0 x 使得 x p n 0 = . （通常地, 0 x 称为 p 的 n 次正根（算术根）,写作 n x0 = p ） 证明 ①存在性：令 n f (x) = x （结论是说存在 x0  0 使 f (x0 ) = p ,这类问题一般用介值定理）, 则 f (x) C(−,+) ； f (0) = 0  p ,如 b  0 使 b p n  则由介值定理结论成立. 而 = + →+ n x lim x ,故 b  0 使 b p n  . ②唯一性： x x p n n 0 = 1 = ( 0, 0) x0  x1  ( )( ) 0 1 1 1  0 − 1 = 0 − 1 0 + + = n n n− n− x x x x x  x  x0 − x1 = 0 即 0 1 x = x . 例 6 设 f (x) C[0,1] ,且 0  f (x)  1 ,证明至少存在一点 c [0,1] 使 f (c) = c （著名的 Brouwer 不动点定理）. 证明 结论提示我们作 F(x) = f (x) − x ,求 F(x) 的零点 如 f (0) = 0 或 f (1) = 1 则结论成立.现设 f (0)  0, f (1)  1