《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 则F0F0<0,F()eC0,→，∈0，D使Fx)=0即)=x. 象这类有关不动点问题及()=)的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存 在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示 例7证明：y=sinxEC(-∞，+oo) 证明x。∈（-+o)△y=sinp+△x)-sm飞=2c0s2一sn2之0△r0) 2 故sx在xo连续.由xo的任意性即可推出结论. sinx 其定义域内连续. 定理区间上严格单调函数，如果值域为一区间，则函数连续。 本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值，反之不对，看例子 「x0≤x<1, f(x)=3-x1≤x≤2 x2<x≤3 它可取一切中间值，却不连续。但如加上严格单调条件，就成立了. 定理的证明不妨设fx)在区间I=(a,b)严格上升，若fx)在。∈I不连续，则 ,-0)≤f)≤f,+0)中必有一严格不等号成立，比如，-0)<f),则值域包含在 Ua+0,fx,-0u[fxf6-0》中，就不是一个区间了. 下面定理给出反函数的连续性。 三、反函数的连续性： 定理设=eCa创，严格上开，记感)a,即)B,〔a,B可能为 0,+0)则 (1)在(a,)上存在反函数x=f'): (2)x=f')在a,)上严格上升：《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 5 则 F(0)F(1)  0 , F(x) C[0,1] (0,1)  x0  使 F(x0 ) = 0 即 0 0 f (x ) = x . 象这类有关不动点问题及 f (x) = g(x) 的根的存在性问题常常是作辅助函数想法化为零点存 在问题研究.作辅助函数的方法是从结论中得到启示. 例 7 证明： y = sin x C(−,+) 证明 ( , ) x0  − + , 0 0 y = sin( x + x) − sin x 0 2 sin 2 2 2cos 0 → +   = x x x （ x →0 ）, 故 sin x 在 0 x 连续.由 0 x 的任意性即可推出结论. 同理, y = cos x C(−,+)  sin tan cos x x x = 、 cos cot sin x x x = 、 x x cos 1 sec = 、 x x sin 1 csc = 均在 其定义域内连续. 定理 区间上严格单调函数,如果值域为一区间,则函数连续. 本定理可看成介质定理之逆：连续函数可以取到一切中间值,反之不对,看例子        −     = 2 3. 3 1 2, 0 1, ( ) x x x x x x f x 它可取一切中间值,却不连续. 但如加上严格单调条件,就成立了. 定理的证明 不 妨设 f (x) 在区间 I = (a,b) 严格上升 , 若 f (x) 在 x  I 0 不连续 , 则 ( 0) ( ) ( 0) f x0 −  f x0  f x0 + 中必有一严格不等号成立,比如 ( 0) ( ) 0 0 f x −  f x ,则值域包含在 ( ( 0), ( 0)] [ ( ), ( 0)) f a + f x0 −  f x0 f b − 中,就不是一个区间了. 下面定理给出反函数的连续性. 三、 反函数的连续性: 定理 设 y = f (x) C (a,b) ,严格上升,记 = =      inf f (x) , sup f (x) a x b a x b ,（  ,  可能为 − ,+ ）则 （1） 在 ( , ) 上存在反函数 ( ) 1 x f y − = ； （2） ( ) 1 x f y − = 在 ( , ) 上严格上升；