《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 (3)(y)EC(a,B). 实际上y=∫()和x=∫(y)表示是同一条曲线，单调性和连续性都是这条曲线的固有性质， 这定理结果是再也自然不过的事实. 证明(1)因y=()严格上升，反函数一定存在，需要证∫)的定义域恰为(a,. ∈(a,B,由上、下确界定义，x,x”e(a,),使得)<%<f),在 x,x]或x”x上应用介质定理，3∈(x,x)或(x,),使得)=人，由的任意性，得到 (a,B为∫的值域，即(a,)为x=f()的定义域 (2)设八.为∈(a,),儿<，要证=∫一0)<∫0)=，若≥x,由反函数定义 及f,的严格上升，得片=fx)≥fx)=片，矛盾，所以f)严格上升. (3)一0)在a,严格上升，值域为a,),由上段定理知/~')∈Ca,B 注若f)eCa,严格上升，令fa)=a,f)=B,则结论中(a,刷改为a,仍成立， 对严格下降函数也有同样结论. 由此可得y=arcsinx∈C-l, y=arccosx∈C[-l,], y=arcigx∈C(-o,+o) 定理4.8若函数∫在[α，b]上严格递增（或减）且连续，则其反函数f在相应的定义域 [/a,fb)(或Vb,fa)上连续. 证明)严格递增，故一存在且在其定义域上严格递增.由介质性定理知， fa,=/a.fb].故f~的定义域为U/a,fb),值域为a,b现证eclf(a.)fb. 设人∈/@，f],要证f一在连续，即证： E>0,6>0,当ly-%k6时 If(y)-f()ks 记f)=x,%)=o,则)=y,x)=, ()式即为x-k5或， 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 6 （3） ( ) ( , ) 1 f y C   − . 实际上 y = f (x) 和 ( ) 1 x f y − = 表示是同一条曲线,单调性和连续性都是这条曲线的固有性质, 这定理结果是再也自然不过的事实. 证明 （1）因 y = f (x) 严格上升,反函数一定存在,需要证 ( ) 1 f y − 的定义域恰为 ( , ) . ( , )  y0    ,由上、下确界定义,  x , x(a,b) , 使得 ( ) ( ) 0 f x  y  f x .在 [x , x] 或 [x , x] 上应用介质定理, ( , ) 0  x  x x 或 (x , x) ,使得 0 0 f (x ) = y ,由 0 y 的任意性,得到 ( , ) 为 f 的值域,即 ( , ) 为 ( ) 1 x f y − = 的定义域. （2）设 ( , ) y1, y2    , 1 2 y  y , 要证 2 2 1 1 1 1 x = f (y )  f (y ) = x − − ,若 1 2 x  x ,由反函数定义 及 f (x) 的严格上升,得 1 1 2 2 y = f (x )  f (x ) = y , 矛盾,所以 ( ) 1 f y − 严格上升. （3） ( ) 1 f y − 在 ( , ) 严格上升,值域为 (a,b) ,由上段定理知 ( ) ( , ) 1 f y C   − . 注 若 f (x) C[a,b] 严格上升,令 f (a) =  , f (b) =  , 则结论中 ( , ) 改为 [ , ] 仍成立, 对严格下降函数也有同样结论. 由此可得 y = arcsin x C[−1, 1], y = arccos x C[−1, 1], y = arctg x C (−, + ) . 定理 4.8 若函数 f 在 [a,b] 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数 −1 f 在相应的定义域 f (a), f (b) ( 或 f (b), f (a) ) 上连续. 证明 f (x) 严格递增,故 −1 f 存在且在其定义域上严格递增.由介质性定理知, f ([a,b]) = [ f (a), f (b)] .故 −1 f 的定义域为 [ f (a), f (b)] ,值域为 [a,b] 现证 ([ ( ), ( )]) 1 f C f a f b − . 设 [ ( ), ( )] y0  f a f b ,要证 −1 f 在 0 y 连续,即证：   0,   0 ,当 | y − y0 |  时 −   − − | ( ) ( ) | 0 1 1 f y f y (1) 记 f y = x − ( ) 1 , 0 0 1 f ( y ) = x − ,则 f (x) = y , 0 0 f (x ) = y , (1)式即为| − |  0 x x 或