《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 由~的严格递增性，要使上式成立，只要化-8)<八)<心，+)， 只要f(-)-f(x)<f)-f)<fx+)-fx) 即 -[f(xo)-f(xo-5)]<f(x)-f(xo)<f(xo+s)-f(xo) (2) 记=mmf,)-f。-+)-f,》,则当l"-%K6时必有②)成立，从而试成立. 对区间端点应用左右连续定义同样可证 四、一致连续性 在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续.我们先叙述何谓一致 连续. (一）设f(x)在某一区间1连续，按照定义，也就是x)在区间I内每一点都连续.即对 x∈I,e>0,x∈U(x;)时，就有|f(x)-f(x)水k6. 连续定义中6对x。的依赖性： 一般说来，对同一个，当飞不同时，8一般是不同的.例如图左中y=}的曲线，考查函数 fx)=在区间(0,1]上的连续性， 对，∈(0，小.作限制多<x≤L就有 1-1x-x-_2x- 2 对vE>0,取6=mm(三c,号)这里6与，有关，有时特记为6G, 本例中不存在可在区间(0,1]上通用的6，即不存在最小的（正数）6.对接近于原点的 x,6就应取小一些.而当x离原点较远时，6取大一些.（对后者的6值就不一定可用于前者.） 但在以后的时论中，有时要求能取到一个时区间1内所有的点都适用的6，如考查函数/)- 在区间[c,+o)(c>0)上的连续性.本例中可取得最小的，也就是可通用的《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 7 由 −1 f 的严格递增性,要使上式成立,只要 ( ) ( ) ( ) 0 0 f x −  f x  f x +  , 只要 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x − − f x  f x − f x  f x +  − f x , 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 − f x − f x −  f x − f x  f x +  − f x (2) 记 min{ ( ) ( ), ( ) ( )} 0 0 0 0  = f x − f x − f x +  − f x ,则当 | y − y0 |  时必有⑵成立,从而⑴式成立. 对区间端点应用左右连续定义同样可证. 四、一致连续性 在连续函数的讨论和应用中,有一个极为重要的概念,叫做一致连续.我们先叙述何谓一致 连续. (一) 设 f x( ) 在某一区间Ｉ连续,按照定义,也就是 f x( ) 在区间Ｉ内每一点都连续.即对 0 0       x I x U x , 0, ( ; )   时,就有 0 | ( ) ( ) | f x f x −   . 连续定义中  对 0 x 的依赖性 ： 一般说来,对同一个  ,当 0 x 不同时,  一般是不同的.例如图左中 1 y x = 的曲线,考查函数 x f x 1 ( ) = 在区间 ( 0 ,1] 上的连续性. 对 ( 0 ,1], x0  作限制 1, 2 0  x  x 就有 . 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x − = −  − − = 对   0 , 取 }. 2 , 2 min{ 0 2 0 x x  =  这里  与 0 x 有关, 有时特记为 ( , ) 0   x . 本例中不存在可在区间 ( 0 ,1] 上通用的  , 即不存在最小的( 正数 )  .对接近于原点的 0 x , 就应取小一些.而当 0 x 离原点较远时, 取大一些.（对后者的  值就不一定可用于前者.） 但在以后的讨论中,有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的  ,如考查函数 x f x 1 ( ) = 在区间 [ c , +  ) (c  0) 上的连续性 . 本 例 中 可 取 得 最 小 的 , 也 就 是 可 通 用 的