《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 6=m(?6,}.该6却与x,无关，可记为6(6).这就需要引进一个新概念一一致连续。 (二)一致连续的定义 定义（一致连续)设∫为定义在区间1上的函数.若对任给的ε>0，存在一个 6=6s)>0,使得对任何x,x∈1，只要1x-x”k6,就有1f(x)-f(x)水6，则称函数∫在区间 I上一致连续. (三)数在区间上连续与一致连续的比较 1、区别 函数f在I连 函数f在I上一致连 续，x,∈L,E>0,36>0, 续，E>0,36>0,当 定义 当xeU;d) x,xeI,x,x"∈U(x;) 时，lf(x)-f(x)ks 时，If(x)-f(x)ke 对于I上的不同的点x。 相应的δ是不同的，换言 6的取值只与ε有关，而与x,无关，或 之，6的取值除依赖于ε 者说，存在适合于I上所有点x,的公 对6的要求 外，还与x,有关，由此记为 共的6，记作6=(e),它对任意的x 6=6e,x)表示6与s和 都适用。 。有关。 与区间中每一点及其附近 的f(x)情形有关，即只要 要知∫在整个区间的情形，在整个区 在区间中每一点，连续就 性质 间内来找适合定义中的6，这种性质称 行，也即在每一点中可有 为整体性质。 适合定义中的6，这是局 部性质。 2、系 若∫在I上一致连续，则∫在I上连续：反之不成立（即若∫在I上连续，∫不一定在I上 致连续。 问题如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理： 定理(Cantor1845-1918)fx)eC[a),则f在a,b1上一致连续.（证明见第七章） 证明如果不然，f)在a,上不一致连续，>0,6>0，r,xe[a,r-xk6, 8 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 8 }. 2 , 2 min{ 2 c c  =  该  却与 0 x 无关, 可记为  ( ) .这就需要引进一个新概念——一致连续. (二) 一致连续的定义 定义（一致连续） 设 f 为定义在区间Ｉ上的函数.若对任给的   0 ,存在一个    =  ( ) 0 ,使得对任何 x x I   ,  ,只要 | | x x   −   ,就有 | | f x f x (   ) −  ( )  ,则称函数 f 在区间 Ｉ上一致连续. (三) 数在区间上连续与一致连续的比较 1、区别 定义 函数 f 在Ｉ连 续, 0       x I, 0, 0   , 当 0 x U x  ( ; )  时,| | f x f x ( ) −  ( 0 )  函数 f 在Ｉ上一致连 续,      0, 0 ,当 x x I   ,  , 0 x x U x   , ( ; )   时,| | f x f x (   ) −  ( )  对  的要求 对于Ｉ上的不同的点 0 x , 相应的  是不同的,换言 之, 的取值除依赖于  外,还与 0 x 有关,由此记为 0    = ( ; ) x 表示  与  和 0 x 有关.  的取值只与  有关,而与 0 x 无关,或 者说,存在适合于Ｉ上所有点 0 x 的公 共的  ,记作    = ( ) ,它对任意的 0 x 都适用. 性质 与区间中每一点及其附近 的 f x( ) 情形有关,即只要 在区间中每一点,连续就 行.也即在每一点中可有 适合定义中的  ,这是局 部性质. 要知 f 在整个区间的情形,在整个区 间内来找适合定义中的  ,这种性质称 为整体性质. 2、系 若 f 在Ｉ上一致连续,则 f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若 f 在Ｉ上连续, f 不一定在Ｉ上 一致连续. 问题 如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理： 定理（Cantor 1845-1918） f (x) C[a,b] , 则 f (x) 在 [a,b] 上一致连续.（证明见第七章） 证明 如果不然, f (x) 在 [a,b] 上不一致连续,  0  0 ,   0, x , x[a,b] , | x − x | 