《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 而fx)-f(x)p. 1 ,3式g∈a,g-k ,而/)-x)上，由波尔察诺定理，存在子序列 a,而由-Kn,也有。→，再由)在连续 1/x)-fx)B中令k→o,得 0=f(x)-f(xo)H lim If(x)-f(x")5 矛盾.所以f(x)在[a,b上一致连续。 f(x) 例设f)在【a,+o)a>0)上满足Lipschitz条件，/)-f0以≤体-，证明士在 [a,+o)上一致连续。 证分析 .fs-f+Vs- sB-x<E. 因为 lfx)-fa≤kr-d f(x2)sklxzl+kla+f(a) f(x:)sB x f()_f)< 取-后当k-<6时.片-号 3、一致连续的例子 例1证明f)=心+(a≠0)在(-0，+o)上一致连续， 证明6>0，由于1f,)-f,)Hax-l,故取=6川a叫，不论，为R上怎样两 点，只要-xK6就有lf)-fx)水8， 即：)=+6a≠0)在(-0，+四)上一致连续. 例2f)=r在a,上一致连续，但在(-+四上不一致连续，《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 9 而 0 | f (x) − f (x) |  . 取 n 1  = , x , x [a,b]  n  n   , n x x n n 1 |  −  | ,而 0 | ( ) − ( ) |  n n f x f x ,由波尔察诺定理,存在子序列 [ , ] x x0 a b nk  →  , 而 由 k n n n x x k k 1 |  −  | , 也 有 0 x x n  k → . 再 由 f (x) 在 0 x 连 续 , 在 0 | (  ) − (  ) |  nk nk f x f x 中令 k →,得 0 0 0 0 =| ( ) − ( ) |= lim | (  ) − (  ) |  → nk nk k f x f x f x f x , 矛盾.所以 f (x) 在 [a,b] 上一致连续. 例 设 f (x) 在 [a,+) (a  0) 上满足 Lipschitz 条件： f (x) − f (y)  k x − y , 证明 x f (x) 在 [a,+) 上一致连续. 证 分析 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1  −   − + − −  B x x x x x x f x x f x f x x f x x f x 因为 f (x) − f (a)  k x − a , ( ) ( ) f x2  k x2 + k a + f a , B x f x  2 2 ( ) , 取 B   = ,当 x1 − x2   时, −   2 2 1 1 ( ) ( ) x f x x f x . 3、一致连续的例子 例 1 证明 f (x) = ax + b(a  0) 在 (−,+) 上一致连续. 证明   0,由于 | ( ) ( )| | || | 1 2 1 2 f x − f x = a x − x ,故取  =  / | a | ,不论 1 2 x , x 为 R 上怎样两 点,只要 | x1 − x2 |  就有 | ( ) − ( ) |  1 2 f x f x ， 即： f (x) = ax + b(a  0) 在 (−,+) 上一致连续. 例 2 2 f (x) = x 在 [a,b] 上一致连续,但在 (−,+) 上不一致连续