《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 证明6>0，当本，∈a,时，要使x-xK8只要 1x+x2川x-x20x|+|x2Dlx-x2|≤2M|x-x2K6, 取8=2i(M=mx1abB),则当lx-xk6就有1fx)-f水e, (不-致连续：3>0,6>0，rx”∈/，虽x-x"K6但lfx)-fx)P6.) 取46>0取-片与=号，则然5-非号5相是 g-1+>16 例3司八因-在0内不一黄达线（层监它在有车一有都连 正明取气=1，v6>0,取=m8空，f=2,则r-r外苦号6 f)在1上一致连续→()在I上连续.从上例看，其逆不真 例4证明sin在(c,)(c>0)内是一致连续的，而在(0，)内连续但非一致连续， 阴一m器：型 云2 例5设区间1，的右端点为c∈1，区间1，的左端点也为c∈12(1，可分别为有限或无限区 间).试按一致连续性定义证明：若∫分别在1，和1，上的一致连续，则f在I=1,八2上也一致连 续 例6证明)在(a,b)上一致连续的充要条件是：f)在(a,b)上连续，且存在 m。f)与m,f) 证明先证充分性：令 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 10 证明   0,当 , [ , ] x1 x2  a b 时,要使 | − |  2 2 2 1 x x 只要 | | | | (| | | |) | | 1 2 1 2 1 2 1 2 x + x  x − x  x + x x − x  2 | − |  1 2 M x x ， 取 2M   = （ M = max{| a |,| b |} ）,则当 | x1 − x2 |  就有 | ( ) − ( ) |  1 2 f x f x ， （不一致连续：  0  0 ,  0, x  , x  I ,虽 | x  − x  |  但 | f (x ) − f (x ) |  .） 取  0 = 1 ,  0,取  1 x1 = , 2 2 1  x = x + ；则虽然   − =  2 | | 1 2 x x ,但是 0 2 2 2 2 1 1 4 | | 1   x − x = +  = . 例 3 证明 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 内不一致连续（虽然它在 (0,1) 内每一点都连续）. 证明 取  0 = 1 ,  0,取 } 2 1 x  = min{  , , x  = x / 2,则       −  = 2 2 | | x x x 但 1 0 1 | 1 2 | | 1 1 |  =   =  −  =  − x  x x x x  f (x) 在 (0,1) 内不一致连续. f (x) 在 I 上一致连续  f (x) 在 I 上连续.从上例看,其逆不真. 例 4 证明 1 sin x 在 ( ,1) c ( 0) c  内是一致连续的,而在 (0,1) 内连续但非一致连续. 证明 cos , 2 2 sin 1 sin 1 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c x x x x x x x x x x x x x x x x −  −  − + − = . 例 5 设区间 1 I 的右端点为 1 c I  ,区间 2 I 的左端点也为 2 c I  （ 1 2 I I, 可分别为有限或无限区 间）.试按一致连续性定义证明：若 f 分别在 1 I 和 2 I 上的一致连续,则 f 在 1 2 I I I =  上也一致连 续. 例 6 证明 f (x) 在 ( a, b) 上一致连续的充要条件是： f (x) 在(a, b) 上连续,且存在 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x→a+ x→b− 与 ． 证明 先证充分性：令