《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 f(x), x∈(a,b), 8)={。fx, x=d, m,f, x=b. 由条件可知g()在[a,b]上连续，从而g)在[a,b]上一致连续（由连续函数在闭区间上的 整体性质).再由一致连续的定义，又知gx)在(，b)上也一致连续.而在 (a,b)上gx)=f),所以证得f)在(a,b)上一致连续. 再证必要性：由fx)在(a,b)上一致连续的定义，e>0,38>0,当 x,xe(a,b)且x-x<i时，有 f(x)-f(x")川<E 因此，特别当x,x”∈(a,a+δ)或(b-8,b)时，同样有f(x)-f(x)川<8， 这表示x→a+0或x→b-0时f,)存在极限的柯西条件得到满足，所以证得 mfx)与n,)都存在. 注由例5结论，易证：若f)在(a,b)上一致连续，则)在(a,b)上必定有界.这是 因为上面证明中已知8y在[a,b]上连续，从而)在[a,b]上有界，故8)在(a,b)上也 有界：而在(a,b)上)=f),所以知道f)在(a,b)上有界. 对于一般在(a,b)上的连续函数()，它在(a,b)上不一定有界.例如 网=专在(Q,)上处处选续包它在0.)上是无界的.由此又可说明国=在(0》上 必定不一致连续. 4、一致连续的否定： 例11证明函数fx)=二在区间(0,1)内非一致连续。 证法一（用一致连续的否定定义验证)取。=l6(k<),取x=mm(6,》 }是引21 证法二（用例10的结果）. 11《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 11        = =  = → − → + lim ( ), . lim ( ), , ( ), ( , ), ( ) 0 0 f x x b f x x a f x x a b g x x b x a 由条件可知 g(x) 在 [ a, b ] 上连续,从而 g(x) 在 [ a, b ] 上一致连续（由连续函数在闭区间上的 整 体 性 质 ）． 再 由 一 致 连 续 的 定 义 , 又 知 g(x) 在 ( a, b ) 上也一致连续．而在 (a, b ) 上 g(x) = f (x) ,所以证得 f (x) 在 ( a, b ) 上一致连续． 再证必要性：由 f (x) 在 ( a, b ) 上一致连续的定义,   0 ,    0 ,当 x  , x ( a, b) 且 x  − x    时,有 f ( x ) − f ( x )   ． 因此,特别当 x  , x ( a, a +  ) 或 ( b − , b ) 时,同样有 f ( x ) − f ( x )   ． 这表示 x →a + 0 或 x →b − 0 时 f (x) 存在极限的柯西条件得到满足,所以证得 lim ( ) 0 f x x→a+ 与 lim ( ) 0 f x x→b− 都存在． 注 由例 5 结论,易证：若 f (x) 在 ( a, b ) 上一致连续,则 f (x) 在 ( a, b ) 上必定有界．这是 因为上面证明中已知 g(x) 在 [ a, b ] 上连续,从而 g(x) 在 [ a, b ] 上有界,故 g(x) 在 ( a, b ) 上也 有界；而在 (a, b ) 上 g(x) = f (x) ,所以知道 f (x) 在 ( a, b ) 上有界． 对于一般在 (a, b) 上的连续函数 f (x) , 它 在 (a, b) 上不一定有界．例如 ( 0, 1) , (0, 1 ) 1 f (x) = x 在 上处处连续 但它在 上是无界的．由此又可说明 ( 0, 1) 1 f (x) = x 在 上 必定不一致连续． 4、一致连续的否定: 例 11 证明函数 x f x 1 ( ) = 在区间 (0 ,1) 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 1, ( 1),  0 =   取 }, 2 1 x  = min{  , 与 , 2 x x   = 便有 . 2 2       −  = x x x 但 2 1 .  1 1 1 2 1 0   =   =  −  =  − x  x x x x 证法二 ( 用例 10 的结果 )