《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 5、Lipschitz连续与一致连续： 定义Lipschitz连续. 例12函数fx)在区间I上L-连续，→f(x)在I上一致连续.（证略) 但函数f(x)在区间I上一致连续时，未必有fx)在I上L-连续.例如：函数 f(x)=√F在区间(0,1)内一致连续。（为证明V在区间(0,1）内一致连续，先证明 不等式：x1,2≥0，有不等式x1+x2-2√xx2≤到x-x2 事实上， x≥x3时，x+x2-2x2≤x+x2-2V22=x-2, 同理，x≤x时，有x+x3-2西≤x+x-2√=x3-x 利用该不等式，为使 |fx)-fx2)=x+x2-2xx<62, 只要|x-x2<e2.) 却不是L-连续事实上，倘存在L>0,使对x,x2∈(0,1)，有 |fx)-fx2)川=W压-Vx≤x-x2b 则当x≠x时，应成立 1 =sL. + 但若取=京为-京就有十石号。→福 作业教材P81一821一7,11,13：8,9,10. 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 12 5、Lipschitz 连续与一致连续: 定义 Lipschitz 连续. 例 12 函数 f (x) 在区间 I 上 L − 连续,  f (x) 在 I 上一致连续. ( 证略 ) 但函数 f (x) 在区间 I 上一致连续时, 未必有 f (x) 在 I 上 L − 连续. 例如: 函数 f (x) = x 在区间 ( 0 ,1) 内一致连续.（为证明 x 在区间 ( 0 ,1) 内一致连续, 先证明 不等式: , 0,  x1 x2  有不等式 2 . 1 2 1 2 1 2 x + x − x x  x − x 事实上, 1 2 x  x 时, 2 2 , 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 x + x − x x  x + x − x x = x − x 同理, 1 2 x  x 时, 有 2 2 . 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 x + x − x x  x + x − x x = x − x 利用该不等式, 为使 − = 2 1 2 f (x ) f (x ) 2 , 2 1 2 1 2 x + x − x x   只要 . 2 1 2 x − x   ） 却不是 L −连续. 事实上, 倘存在 L > 0 , 使对 , ( 0,1),  x1 x2  有 ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 f x − f x = x − x  L x − x 则当 1 2 x  x 时,应成立 . 1 1 2 L x x  + 但若取 , 4 , 1 1 2 2 2 n x n x = = 就有 , ( ). 3 1 1 2 = →  →  + n n x x 矛盾. 作业 教材 P81—82 1—7,11,13； 8,9,10