K R=2 1+(y)2] (2) dy asin t dx a(1-cost) 2 d ,于是 K R=2 +(y)2]2 17.求下列曲线的曲率和曲率半径。 (1)抛物线y2=2px(p>0); (2)双曲线-=1 (3)星形线x (a>0) (4)圆的渐开线x=a(cost+lsin,y=a(sint- t cost))(a>0) 解(1)女=y,“x=1,于是 R (P+2x)2 11()2(p2+y2)2(p+2x) (2)令x= a sec t,y=bant,则 ￠_ b sect b csc t cot t dx a tant sect a a- tant sec t 于是 b cot alcott ab K 1+(=cscn)2]2(a2+b2csc2)2[(a2+b2)x2-a4]2 R=a2+b2)x2-a1 a b 3)令 x= acos t,y=asin I, 则, 2 2 4 2 [1 ( ) ] 2 3 2 = = + ′ ′′ = R y y K 。 （2） 2 4 2 sin 1 cot , csc (1 cos ) 2 4 2 dy a t t d y t dx a t dx a = = = − − ，于是 R a a y y K , 2 2 4 2 [1 ( ) ] 2 3 2 = = + ′ ′′ = 。 17. 求下列曲线的曲率和曲率半径。 （1） 抛物线 y 2 px（ ）； 2 = p > 0 （2） 双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x ； （3） 星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a （a > 0）； （4） 圆的渐开线 x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost)（a > 0）。 解（1） 2 2 1 , dx y d x dy p dy p = = ，于是 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 [1 ( ) ] ( ) ( 2 ) 1 p x p p y p p y p K + = + = + = ， p p x R 2 3 ( + 2 ) = 。 （2）令 x = a sec t, y = b tan t ，则 t a b t t t t a b dx d y t a b t t t a b dx dy 3 2 2 2 2 2 cot tan sec cot csc csc , tan sec sec = − − = = = ⋅ ， 于是 2 3 2 2 2 4 4 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 ( csc ) [( ) ] cot [1 csc ) ] cot a b x a a b a b t ab t t a b t a b K + − = + = + = （ ， a b a b x a R 4 2 3 2 2 2 4 [( + ) − ] = 。 （3）令 x a t y a t ，则 3 3 = cos , = sin 244