旋转体的表面积 A=2丌 4x-3dx=(115-1)。 15.证明由空间曲线 x=x(1) y=y),t∈[T, 二(1) 垂直投影到Oxy平面所形成的柱面的面积公式为 S=2=()x(t)32+y()32d, 这里假设x(t),y(),=()在,T2]上连续,且z(1)≥0。 证作[T,T2]的划分:T=ln<1<t2<…<n=72,设空间曲线对应于 小区间[t1,x的小弧段在Oxy平面的投影的长度为As,则 As,=[Vix(]+[y ]dr= ix'(5 )]+[y(5 )FAr 其中5,∈[t1,4]l。于是这段小弧段垂直投影到Oxy平面所形成的柱面 的面积为 AS≈(5)As=(5x(5)+[y(5)A。 令=max(△),就得到 S=m∑3Mk(5+v)△=1=30x0P+pyod 16.求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径 (1) 在点(2,2) (2)x=a(-sin1),y=a(1-cosn)(a>0),在t=丌/2对应的点。 解(1)y=-4,y”=8,于是旋转体的表面积 ∫ ∫ − = + + − + 2 1 2 0 4 1) 1 2 1 1 4 1 1 2 2 dx x dx x x A （ π π (11 5 1) 6 4 3 2 5 2 1 2 0 = + − = − ∫ ∫ π π xdx π x dx 。 15. 证明由空间曲线 x x t y y t z z t t T T = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ∈ ( ), ( ), ( ), [ , ] 1 2 垂直投影到 Oxy 平面所形成的柱面的面积公式为 S = ′ + ′ ∫ z t x t y t dt T T ( ) [ ( )] [ ( )] 2 2 1 2 ， 这里假设 x t ′( )， y′(t)， z′(t)在[T1 ,T2 ]上连续，且 z(t) ≥ 0。 证 作[T1 ,T2 ]的划分： 1 0 1 2 T2 T t t t t = < < < " < n = ，设空间曲线对应于 小区间[ti−1 ,ti]的小弧段在Oxy平面的投影的长度为 i ∆s ，则 1 2 2 2 2 [ '( )] [ '( )] [ '( )] [ '( )] i i t i i t s x t y t dt x ξ y ξ − ∆ = + = + ∆ ∫ i i t ， 其中 [ , ] i i 1 i t t ξ ∈ − 。于是这段小弧段垂直投影到 Oxy 平面所形成的柱面 的面积为 2 2 ( ) ( ) [()] [ ( )] i i i i i i ∆ ≈ S z ξ ξ ∆s = z x′ ξ + y′ ξ ∆ti。 令 1 max( )i i n λ t ≤ ≤ = ∆ ，就得到 2 2 0 1 lim ( ) [ ( )] [ ( )] n i i i i ∆t i S z x y λ ξ ξ ξ → = = + ∑ ′ ′ 2 1 2 2 ( ) [ ( )] [ ( )] T T = + z t x′ t y′ t dt ∫ 。 16. 求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径。 （1） xy = 4，在点(2,2)； （2） x = a(t − sin t), y = a(1− cost)（a > 0），在t = π / 2对应的点。 解（1） 2 3 8 , 4 x y x y′ = − ′′ = ，于是 243