dy basin tcost dx - t d x2 3a sint cos+ t 于是 3alsintcos+t11 K 3a lint cost 3vaxyI R=vary (1+tan2t)2 dy a(cost-cost +tsint) ec t dx a(-sint+sint+fcosp\,kr ost at cost 于是 ar cos K R=at (1+ tant) 18.求曲线y=lnx在点(10)处的曲率圆方程。 解y=1,y”=--,所以曲线在点(10处的曲率为 K 曲率半径为R=22 4 +) 由于曲线y=lnx在点(1,0)处的切线斜率为y2=1,所以法线方程为 y=-x+1,设(a,b)为曲率圆的圆心,则b=-a+1。 再由(a-1)2+(b-0)2=8,解得a=3,b=-2,所以曲率圆的方程为 (x-3)2+(y+2)2=8。 19.设曲线的极坐标方程为r=r(0),∈[a,B](c[0.2z]),且r(O)二阶可 导。证明它在点(r,0)处的曲率为 证设曲线的参数方程为 =x(t) ,则其曲率为 y=y() 2452 2 2 2 3 sin cos 1 1 tan , 3 cos sin 3 sin cos dy a t t d y t dx a t t dx a t t = = − = ⋅ − 4 ， 于是 4 3 3 2 2 1 1 3 sin cos 1 1 1 3 sin cos 3 (1 tan ) a t t K a t t axy t = = = + ，R = 3 3 axy 。 （4） 2 2 2 3 (cos cos sin ) sec 1 tan , ( sin sin cos ) cos cos dy a t t t t d y t t dx a t t t t dx at t at t − + = = = − + + = ， 于是 at t at t K 1 (1 tan ) cos 1 2 3 2 3 = + = ，R = at 。 18. 求曲线 y = ln x 在点(1,0) 处的曲率圆方程。 解 2 1 , 1 x y x y′ = ′′ = − ，所以曲线在点(1,0) 处的曲率为 , 4 2 ) 1 (1 1 2 3 2 2 = + = x x K 曲率半径为 R = 2 2 。 由于曲线 y = ln x 在点(1,0) 处的切线斜率为 y′ = 1，所以法线方程为 y = −x +1，设(a,b)为曲率圆的圆心，则b = −a +1。 再由( 1) ( 0) 8，解得 2 2 a − + b − = a = 3,b = −2 ，所以曲率圆的方程为 ( 3) ( 2) 8 2 2 x − + y + = 。 19. 设曲线的极坐标方程为r = r(θ ) ，θ ∈[α, β ] (⊂ [0,2π ])，且r(θ )二阶可 导。证明它在点(r,θ )处的曲率为 2 2 3 / 2 2 2 ( ) 2 r r r r rr K + ′ + ′ − ′′ = . 证 设曲线的参数方程为 ，则其曲率为 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y y t x x t 245