Cha ap ter 1 Variational methods 边值问题的解经常为某个范函F(u)的最大值(或最小值)。考虑一根拉紧的 弦,受到横向的力,且两端点固定,变形u(x)满足 dx2 f(x),0 (0)=()=0 弦的势能为W 其中右端第一部分为形变产生的能,第二部分为外力作的功。u的最终 位置应使得势能最小。可以证明对于所有分片连续可微函数v(x),且满 足v(0)=v(1)=0的函数中,微分方程的解u满足 (v)≥W(a) 考虑更小的一个函数空间En,E是独立的函数n1(x),t2(x),…,vn(x)张成 的空间,也就是E中的每个函数都可以表示成 CivilChapter 1 Variational Methods >Š¯K)²~,‡‰¼F(u)ŒŠ(½Š)"Ċ.; u§Éî•姅üà:½§C/u(x)÷v − d 2u dx2 = f(x), 0 < x < l u(0) = u(l) = 0 u³UW: W(u) = 1 2 Z 1 0  du dx2 − Z 1 0 f(x)u(x)dx Ù¥mà1Ü©/C)U§1Ü© åŠõ"uª  A¦³U"Œ±y²éu¤k©¡ëYŒ‡¼êv(x)§…÷ vv(0) = v(1) = 0¼ê¥§‡©§)u÷v W(v) ≥ W(u) č‡¼êmEn§En´Õá¼êv1(x), v2(x), . . . , vn(x)ܤ m§Ò´En¥z‡¼êь±L«¤ Xn i=1 civi(x) 1