对任何给定的{c},我们有 ct)≥W(a) i=1 我们选择c,使得左边最小化: O(∑=1cv) 我们得到 ∑a/ntd ∫(x)vk(x)dx,k=1,,n 求解出c,我们得到一个逼近解。对应逼近解的势能是 Civi 例如假设f(x)=sin(x)。我们用一项=C1n1(x),这里t1(x)=x(1-x)(满 足边界条件 Jo a(l-)sin rdc 12 因此 ==2x(1-x),W()= 注意到此时精确解和最小势能为 u==sina, w(u 我们可以看到近是u的一个近似。 11一个子空间最好的逼近 设M是 Hilbert空间H的一个有限维闭子空间。对于H中的任意一个元素f, 我们称M中的元素g最接近∫是指‖g-川最小。这样的g是唯一的,我们记 2é?ۉ½{ci},·‚k W Xn i=1 civi ! ≥ W(u) ·‚ÀJci§¦†>zµ ∂W ( Pn i=1 civi) ∂ck = 0, k = 1, . . . , n ·‚ Xn i=1 ci Z 1 0 v 0 k v 0 idx = Z 1 0 f(x)vk(x)dx, k = 1, . . . , n ¦)Ñci§·‚‡%C)u¯"éA%C)³U´ W(¯u) = w Xn i=1 civi ! ~Xbf(x) = sin(πx)"·‚^‘u¯ = c1v1(x),ùpv1(x) = x(1 − x)(÷ v>.^‡)" c1 = R 1 0 x(1 − x) sin πxdx R 1 0 (1 − 2x) 2dx = 12 π 3 Ïd u¯ = 12 π 3 x(1 − x), W(¯u) = −24 π 6 5¿dž°()ځ³U u = 1 π 2 sin πx, W(u) = − 1 4π 2 ·‚Œ±wu¯´u‡Cq" 1.1 ‡fmÐ%C M´HilbertmH‡k‘4fm"éuH¥?¿‡ƒf§ ·‚¡M¥ƒgCf´kg − fk"ùg´§·‚P 2