为Pf,这里P是到M上的投影算子。如果M中有正交基y1,…,9n,那么 容易知道 Pf <S, Pk>k 如果一组基1,v2,n不是正交的,我们也可以写P∫为 为了计算系数,我们注意到f-p∫与M正交,也与1,,tn正交。因此系 数ak可以唯一被决定 >=<f,v 为了求解关于{a}的方程,我们引入矩阵(by),这里b=<v;,v;>。显然 矩阵是对称的,而且由于{v}是线性无关的,矩阵是非奇异的。它的逆也 是对称的。因此 ∫,v 这里(c)是(b3)的逆矩阵。因此我们有 Pf G;<f, 投影算子P有一些基本的性质 ·P是对称的,对f,g∈H,成立<Pf,g>=<f,Pg> ·P是非负的,对f∈H,成立<Pf,f>≥0 3P f§ùpP´MþÝKŽf"XJM¥kÄϕ1, . . . , ϕn§@o N´ P f = Xn k=1 < f, ϕk > ϕk XJ|Äv1, v2, . . . , vnØ´§·‚Œ±P f P f = Xn k=1 akvk  OŽX꧷‚5¿f − pf†M§†v1, . . . , vn"ÏdX êakŒ±û½ Xn k=1 ak < vk, vj >=< f, vj >, j = 1, . . . , n  ¦)'u{ak}§§·‚Ú\Ý (bij )§ùpbij =< vi , vj >"w, Ý ´é¡§ …du{vi}´‚5Ã'§Ý ´šÛÉ"§_ ´é¡"Ïd ak = Xn j=1 cjk < f, vj > ùp(cij )´(bij )_Ý "Ïd·‚k P f = Xn i,j=1 cij < f, vi > vj ÝKŽfPk Ä5Ÿµ • P´é¡§éf, g ∈ H,¤á< P f, g >=< f, P g > • P´šK§éf ∈ H§¤á< P f, f >≥ 0 • P 2 = P • éf ∈ M,P f = f 3