证:AB可以写成下列两种分块形式: b% AB= a a2 a11a12 b a21a22 b aB am1am2··alm 其中a2为m×1列向量(i=1,2,…,m),b;为1×k行向量(=1,2,…,m) 设 rank(A)=rank (a1, a2,.,an=ra rank (B)=rank(b1, b2, .. bn)=ri 因AB中的每一列都是矩阵A中列向量的线性组合,因此rank(AB)≤rank(A)=rA 同理,AB中的没有行是矩阵B中行向量的线性组合,因此rank(AB)≤rank(B)=rB,因此, AB≤min{rA,TB} 另外,因rA≤min{m,n},TB≤min{m,k},最终有 aB ≤min{rA,rB} ≤min{m,m,k 13.设n阶方阵A的秩为r(≤m),且A2=A,证明: Trace(A)=r,其中Tace(A)=∑ai称为 A的迹证: AB 可以写成下列两种分块形式: AB = h a1 a2 · · · an i       b11 b12 · · · b1k b21 b22 · · · b2k . . . . . . . . . bn1 bn2 · · · bnk       AB =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn             b1 b2 . . . bn       其中 ai 为 m × 1 列向量(i = 1, 2, . . . , n), bj 为 1 × k 行向量(j = 1, 2, . . . , n). 设 rank (A) = rank (a1, a2, . . . , an) = rA rank (B) = rank (b1, b2, . . . , bn) = rB 因 AB 中的每一列都是矩阵 A 中列向量的线性组合, 因此 rank (AB) ≤ rank (A) = rA 同理, AB 中的没有行是矩阵 B 中行向量的线性组合, 因此 rank (AB) ≤ rank (B) = rB, 因此, AB ≤ min {rA, rB}. 另外, 因 rA ≤ min{m, n} , rB ≤ min{n, k}, 最终有 AB ≤ min {rA, rB} ≤ min{m, n, k} 13. 设 n 阶方阵 A 的秩为 r(≤ n), 且 A2 = A, 证明: Trace (A) = r, 其中 Trace (A) = Xn i=1 aii 称为 A 的迹