(b)(A (A) (c)设k为非零常数,则(kA)*=kn-1(A) (d)设A,B均可逆,则(AB)*=(B)(A) (e)设A可逆,则(A)-=(A-1) ()设A可逆,则(A))*=det(A)n-2A (g)若AAT=In,则(A(4)”)2=I A11A2 12A22 证:(a)因(A)= 根据伴随矩阵性质,有A(A)*=det( A1n A (b)由a)可知 (A)A=(A(A)7=(det(A)n)7=det(A)I=det(4)I=(A)AT 因此 (c)因 (ka(ka)=k" det(a)I=knaa 所以(kA)*=kn-1A* (d)因A,B可逆,则 det(AB (AB) 又因 (AB)-1=B-A B A BAN det(b) det(a) det(AB) 因此(AB)=BA ()因(A)A=I=r=(AA-)=(A-)”A,所以(A)=(4-) f)因(A*)A*=(AA")*=(det(A)I)*=det(A)n-I=det(A)2-2AA 所以,(A)*=det(A)-2A 2)因A-1 det(a de(Ax5(4)=a(A(A,所以, (A*=(det(A)I=I 11.任何可逆矩阵A都可只经过行(或只经过列)的初等变换化为单位矩阵Ⅰ. 证:因矩阵A可逆,构成A的列向量线行独立.根据行初等变换的性质,A的每一列都是主元列 因此,它的标准阶梯形就是单位阵I 12.B∈Rnxk证明 rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)≤min{m,n,k}(b)  AT ∗ = ((A) ∗ ) T (c) 设 k 为非零常数, 则 (kA) ∗ = k n−1 (A) ∗ . (d) 设 A, B 均可逆, 则 (AB) ∗ = (B) ∗ (A) ∗ . (e) 设 A 可逆, 则 ((A) ∗ ) −1 = ￾ A−1
∗ . (f) 设 A 可逆, 则 ((A) ∗ ) ∗ = det (A) n−2 A. (g) 若 AAT = In, 则 (A) ∗ ((A) ∗ ) T = In. 证: (a) 因 (A) ∗ =       A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann       , 根据伴随矩阵性质, 有 A (A) ∗ = det (A) I. (b) 由(a)可知 ((A) ∗ ) T AT = (A (A) ∗ ) T = (det (A) I) T = det (A) I = det  AT  I =  AT ∗ AT 因此  AT ∗ = ((A) ∗ ) T . (c) 因 (kA) (kA) ∗ = k n det(A)I = k nAA∗ 所以 (kA) ∗ = k n−1A∗ . (d) 因 A, B 可逆, 则 (AB) −1 = 1 det (AB) (AB) ∗ 又因 (AB) −1 = B −1A−1 = 1 det(B) B ∗ 1 det(A) A∗ = 1 det(AB) B ∗A∗ 因此 (AB) ∗ = B∗A∗ (e) 因 (A∗ ) −1 A∗ = I = I ∗ =  AA−1 ∗ = ￾ A−1
∗ A∗ , 所以 (A∗ ) −1 = ￾ A−1
∗ . (f) 因 (A∗ ) ∗ A∗ = (AA∗ ) ∗ = (det(A)I) ∗ = det(A) n−1 I = det(A) n−2AA∗ , 所以, (A∗ ) ∗ = det(A) n−2A. (g) 因 A−1 = 1 det (A) A∗ = AT 和  AT −1 = 1 det (AT )  AT ∗ = 1 det (AT ) (A∗ ) T , 所以, A∗ (A∗ ) T = (det (A))2 I = I 11. 任何可逆矩阵 A 都可只经过行(或只经过列)的初等变换化为单位矩阵 I. 证: 因矩阵 A 可逆, 构成 A 的列向量线行独立. 根据行初等变换的性质, A 的每一列都是主元列. 因此, 它的标准阶梯形就是单位阵 I. 12. B ∈ R n×k 证明 rank (AB) ≤ min {rank (A),rank (B)} ≤ min {m, n, k}