解:将行列式按第一行展开得: Dn-1-(bc)Dn-2=Dn-aDn-1+ bcD, 方程x2-ax+be=0的根为x12 √a2-4bc 则x1+x2=a,x12=be,因此 令△ 而D2-1D1=a2-be-x1a=(x1+x2-x1x2-x1(x1+x2)=x2,所以 x2→D .2 同理 Dn-.2D-1=1 (Dn-1-22Dn-2)=>Dn-r2Dn-1=ri 当x1≠xn即a2≠4bc时,解得 1 即 n=+1Dn-1=r+m1(1-1+x1Dn-2)=2r+ →Dn=(m-1)+xD1=(-1)+a-1=(n-1+2=(m+1)x=m+m 9.设n阶方阵A的行列式det(A)=1,证明A可以表示成一系列第三类初等变换矩阵F(k) 的乘积的行列式 证:对矩阵A实施一系列行初定变换后,等价于标准形Ln(因det(A)≠0),将行初等变换写成左 乘初等变换矩阵,而初等变换矩阵的逆阵还是初等变换矩阵,所以,A可表示成: A=F1F2…FpLn 其中F是三类初等变换矩阵之一(i=1,2,,p),由行列式性质可知 det(a)=ll det(Fi)det(In) 第一类初等矩阵行列式之积}·{第二类初等矩阵行列式之积}·{第三类初等矩阵行列式之积} 由det(A)=1,第三类初等变换矩阵的行列式为1,可得,第一类初等矩阵行列式之积为1,第 二类初等矩阵之积也为1.所以 det(A)=第三类初等矩阵行列式之积=det(第三类初等变换矩阵之积) 10.设A,B∈R×,(A)和(B)为相应的伴随矩阵(用(·)表示方阵“·”的伴随矩阵,证明下列 等式 (a)A(A)= det(a)In解: 将行列式按第一行展开得: Dn = aDn−1 − (bc)Dn−2 ⇒ Dn − aDn−1 + bcDn−2 = 0 方程 x 2 − ax + bc = 0 的根为 x1,2 = a ± √ a 2 − 4bc 2 , 则 x1 + x2 = a, x1x2 = bc, 因此 Dn − x1Dn−1 = x2 (Dn−1 − x1Dn−2) 令 4n = Dn − x2Dn−1, 得 4n = x24n−1 ⇒ 4n = x n−2 2 42 = x n−2 2 (D2 − x1D1) 而 D2 − x1D1 = a 2 − bc − x1a = (x1 + x2) 2 − x1x2 − x1(x1 + x2) = x 2 2 , 所以 4n = x n 2 ⇒ Dn − x1Dn−1 = x n 2 同理 Dn − x2Dn−1 = x1 (Dn−1 − x2Dn−2) ⇒ Dn − x2Dn−1 = x n 1 当 x1 6= xn 即 a 2 6= 4bc 时, 解得: (x2 − x1) Dn = x n+1 2 − x n+1 1 ⇒ Dn = x n+1 2 − x n+1 1 x2 − x1 当 x1 = x2 即 a 2 = 4bc 时, x1 = x2 = a 2 , Dn = x n 1 + x1Dn−1 = x n 1 + x1  x n−1 1 + x1Dn−2  = 2x n 1 + x 2 1Dn−2 ⇒ Dn = (n − 1)x n 1 + x n−1 1 D1 = (n − 1)x n 1 + axn−1 1 = (n − 1)x n 1 + 2x n 1 = (n + 1)x n 1 = (n + 1)a n 2 n 9. 设 n 阶方阵 A 的行列式 det (A) = 1, 证明 A 可以表示成一系列第三类初等变换矩阵 Fij (k) 的乘积的行列式. 证: 对矩阵 A 实施一系列行初定变换后, 等价于标准形 In (因 det (A) 6= 0), 将行初等变换写成左 乘初等变换矩阵, 而初等变换矩阵的逆阵还是初等变换矩阵, 所以, A 可表示成: A = F1F2 · · · FpIn 其中 Fi 是三类初等变换矩阵之一 (i = 1, 2, . . . , p), 由行列式性质可知: det (A) = Y p i=1 det (Fi) det (In) = {第一类初等矩阵行列式之积} · {第二类初等矩阵行列式之积} · {第三类初等矩阵行列式之积} 由 det (A) = 1, 第三类初等变换矩阵的行列式为 1, 可得, 第一类初等矩阵行列式之积为 1, 第 二类初等矩阵之积也为 1. 所以 det (A) = 第三类初等矩阵行列式之积 = det ￾ 第三类初等变换矩阵之积
10. 设 A, B ∈ R n×n , (A) ∗ 和 (B) ∗ 为相应的伴随矩阵(用 (•) ∗ 表示方阵 “•” 的伴随矩阵), 证明下列 等式: (a) A (A) ∗ = det (A) In