反之,设AIn-A与Mn-B等价.由定理23的推论知,有可逆矩阵U(入),V(A)∈P[] 使得 AIn-A=u((nn-)v() 由引理1知有R()∈P,V∈PM使(2)成立再由(3)可得 U(A)-(In-A)=(AIn-B)(R()(In-A)+Vo) 即有 (U()-In- B)R(D(AIn -A)=(In-B) 比较上式两边的次数,可得 U(A)--(In-B)R() 因而有 U(入)T=In-U(X)(ALn-B)R(入) 又有Q(∈P[,U0∈PM使得(1)成立.于是 In U(T+U()(In-B)R() U(T+(AIn-AV(R() (In-A)Q()+Uo)T+(AIn- AV()R() UoT+(AIn -)(Q()T+VR() 比较两边的次数知 Q(T+V()-R(入)=0 UoT=I 即Uo可逆,且T=U∈P.再由(4)可知V=T.且A=T-1B.即A与B相似 推论1设A,B∈P.则A与B相似当且仅当A与B有相同的行列式因子 这是因为不变因子由行列式因子决定之故 推论2设A,B P,Q0∈PM.且 In-A= po(In-BQo 则Po,Qo可逆,且Qo=Po;A与B相似 比较入的系数即可 由定理3及其推论1知,下面定义是合理的 定义2设V是P上维线性空间.A∈EndV.ax1,a2,,an为V的基,称 2014 ￾
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