6.3矩阵相似的条件 这节我们用多项式矩阵的方法来讨论Pn×n中矩阵相似的条件 定义1设A∈P.称MLn-A∈P以]为A的特征矩阵,ALn-A的不变因子为 A的不变因子,AIn-A的行列式因子为A的行列式因予 引理1设A∈PM,U(入),V(A∈P[A×n.则存在Q(,R()∈P]×n,U0,V0 ∈PM使得 U(入)=(AIn-A)Q()+ V(A)=R(入)(AL-A)+V U(X)=D0+m=D1+…+ADm-1+Dm,D∈PM 若m=0,则Q(A)=0,U0=D=U(入) 设7>0,令 Q(入)=Mm-(o+Mm=2Q1+…+ADm-2+Qm 其中Q1是待定的P×n中方阵于是 (ALn-A)Q(入) (Q1-AQ0) +=(Qk-A(k-1)+ 因而只要取 Q1=D,+AQo Q2=D2 +aQ, Qk= Dk+AQ Uo =Dm +ae, 就可以了.用类似的方法可求得R(入)与V 定理24,B∈P×n.则A与B相似当且仅当Al-A与MIn一B等价,即有相同不变 因子 证若A与B相似,则有T∈P×,T可逆使TAT=B.于是T-(ALn-AT AIn-B.由定理23的推论知AIn-A与λIn-B等价￾
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