《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 {Cn}={a,b,a2,b2.,an,bn,.} 易见C}cia,6)且mC.=a 如上所证，血C,)存在，作为C,》的两个子列/a,》、6.》必收敛 于同一极限，即b=c 因此由归结原则得f)=6 注按照Cauchy准则，可以写出Iimf(x)不存在的充要条件：存在e>0, 对任意0)，存在x,x'eU(x:)使得1fx)-fxP6. 例用Cauchy准则说明imsin上不存在. 例5设在[a,+o)上函数fx),则极限mf()存在，一f)在 [a,+o)上有界.（简证，留为作业） 综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具. 作业教材P551,2,3,4,6. 提示第1题用反证法，第4题用Heine归并原则. 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 { } { , , , , , , } Cn = a1 b1 a2 b2  an bn  易见 { } Cn ( , ) ' U a    且 Cn a n = → lim 如上所证， lim ( ) n n f C → 存在，作为 { ( )} Cn f 的两个子列 { ( )} an f 、{ ( )} bn f 必收敛 于同一极限，即 b = c . 因此由归结原则得 f x b x a = → lim ( ) . 注 按照 Cauchy 准则，可以写出 0 lim ( ) x x f x → 不存在的充要条件：存在   0， 对任意  ( 0)  ，存在 0 0 x x U x   , ( ; )   使得 | ( ) ( ) | f x f x   −   . 例 用 Cauchy 准则说明 0 1 limsin x→ x 不存在. 证明 取 . 2 1 , 1    +  =  = n x n x 例 5 设在 [ a , +  ) 上函数 f (x) ↘. 则极限 lim f (x) x→+ 存在,  f (x) 在 [ a , +  ) 上有界. ( 简证, 留为作业 ). 综上所述：Heine 定理和 Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具. 作业 教材 P55 1，2，3，4，6. 提示 第 1 题用反证法, 第 4 题用 Heine 归并原则