《数学分析》上册教案 第三意函数极限 海南大学数学系 6=x-x>0,则当0<-x<6时，有f)2fx)>M，即 ,)=o-Rf因 类似地我们有：f纠在U)定义，且f)单调下降，则 m,八)=成。，④.以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的 表述和证明. 三、函数极限的Cauchy收敛准则 定理4(Cauchy准则)设函数f在U(x;8)内有定义，limf(x)存在一 任给e>0,存在正数8(<8)，使得对任何x,x”∈U°(x6)有1fx-f(x)k￡. 证明一)（利用极限的定义） 设m/)=b,则E>0,36>0(6<8)当0x-ak8时有 |fx)-bKe/2,从而当0x'-ak6,0x'-ak时有 1f(x)-f(xlf(x'-b)1+|f(x")-bKe/2+8/2=8 -)(利用Heine归并原则) 设a,}cia.6)且a.=a,由假设，s>0,36>0(8<0),只要r, xe0a)=fx)-fx)ke,对此6,3n,当mn>m时有0da-ak6 0a。-ak6 从而1/a,)一a.水由数列的Camc收敛准则，巴/a)存在设为 血a,)=b设，1cia,6)为另一数列，且血6，=0则同上可得mf6,)存 在，设为血6，)=C,考忠数列《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4  = x0 − x  0 ，则当 0  x0 − x   时 , 有 f (x)  f (x)  M , 即 lim ( ) sup ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x U x x x −  → − = + = . 类 似 地 我 们 有 : f (x) 在 ( ) 0 0 U x − 定义，且 f (x) 单调下降 , 则 lim ( ) inf ( ) 0 ( ) 0 0 0 f x f x x x x U x − → −  = , 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的 表述和证明. 三、 函数极限的 Cauchy 收敛准则 定理４（Cauchy 准则） 设函数 f 在 0 0 U x( ; )   内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在  任给   0 ，存在正数   ( )   ，使得对任何 0 0 x x U x   , ( ; )   有 | ( ) ( ) | f x f x   −   . 证明 ) ( 利用极限的定义 ) 设 f x b x a = → lim ( ) ，则   0，  0 （    ）当 0 | x − a |  时有 | f (x) − b |  / 2 ,从而当 0 | x  − a |  ，0 | x  − a |  时有 | f (x ) − f (x ) || f (x  − b) | + | f (x ) − b |  / 2 +  / 2 =  ) ( 利用 Heine 归并原则 ) 设 { }n a ( , ) ' U a    且 an a n = → lim ，由假设，   0，  0 （    ），只要 x  ， x  U(a, )   | f (x ) − f (x ) |  ,对此  ， 0 n ，当 0 m,n  n 时有 0 | am − a |  ， 0 | an − a |  . 从而 | ( ) − ( ) |  n am f a f 由数列的 Cauchy 收敛准则， lim ( ) n n f a → 存在设为 f an b n = → lim ( ) 设 { }n b ( , ) ' U a    为另一数列，且 bn a n = → lim 则同上可得 lim ( ) n n f b → 存 在,设为 f b c n n = → lim ( ) ,考虑数列