《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 定理2设函数∫在，的某空心邻域U,)内有定义，mx)=A台对 任何以x,为极限的递域数列{x}cU(x),有1imf(x)=A. 二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。 现以x→x。这种类型为例叙述如下： 定理3设∫为定义有U(,)上的单调有界函数，则右极限mf)存在， 注定理3可更具体地叙述如下： ∫为定义在Ux)上的函数，若()了在Ux,)上递增有下界，则m) 存在，且mf)=x):(2)f在U)上递减有上界，则mf)存 在，且mf)=R,. 更一般的有： 定理设x)在5()上定义，且)单调上升，则。存在且等于 82fw 正明令=黑，当集合四1e化沙有上界斯.Ke 当它无上界时，A=+0 1)A<+0 g>0,由上确界定义，3xeU6),使得fx)>A-￡，取 6=->0,则当0<-x<6时，由函数单调上升得 fx)≥f(x)>A-￡，再由上确界定义 A+E>f)>A-e或)-A<E,即 lim f(x)=4=sup f(x) 2)A=+0 因集合无上界，对M>0,3xeU),使得fx)>M.取 3 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 定理 2 设函数 f 在 0 x 的某空心邻域 0 0 U x( ) + 内有定义， 0 lim ( ) x x f x A → + =  对 任何以 0 x 为极限的递减数列   0 0 ( ) n x U x  + ，有 lim ( ) n n f x A → = . 二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理. 现以 0 x x → + 这种类型为例叙述如下: 定理 3 设 f 为定义有 0 0 U x( ) + 上的单调有界函数，则右极限 0 lim ( ) x x f x → + 存在. 注 定理 3 可更具体地叙述如下： f 为定义在 0 0 U x( ) + 上的函数，若（1） f 在 0 0 U x( ) + 上递增有下界，则 0 lim ( ) x x f x → + 存在，且 0 0 0 ( ) lim ( ) inf ( ) x x x U x f x f x + →  + = ；（2） f 在 0 0 U x( ) + 上递减有上界，则 0 lim ( ) x x f x → + 存 在，且 0 0 0 ( ) lim ( ) sup ( ) x x x U x f x f x + + →  = . 更一般的有： 定理 设 f (x) 在 ( ) 0 0 U x − 上定义，且 f (x) 单调上升，则 lim ( ) 0 0 f x x→x − 存在且等于 sup ( ) ( ) 0 0 f x x U x −  . 证明 令 A = sup ( ) ( ) 0 0 f x x U x −  , 当集合 { ( ) | ( )} 0 0 f x x U x −  有上界时, A  + ， 当它无上界时， A = + . 1) A  +   0 , 由 上 确 界 定 义 ，  x ( ) 0 0 U x − , 使 得 f (x)  A −  , 取  = x0 − x  0 ，则当 0  x0 − x   时，由函数单调上升得 f (x)  f (x)  A −  , 再由上确界定义 A +   f (x)  A −  或 f (x) − A   , 即 lim ( ) sup ( ) ( ) 0 0 0 0 f x A f x x U x x x −  → − = = . 2) A = + 因集合无上界，对 M  0 ,  x ( ) 0 0 U x − , 使 得 f (x)  M . 取