《数学分析》上册教案 第三意函数极限 海南大学教学系 ∈U)0<k-x<6,使得/)-42. 令8=日a=12,则e.0c水-小水日，使得)42 对于序列，}，x→，xU(6),但广，)-4≥，显然与条件 mf,)=A矛盾. 判断盘儿不存在之方法：在「化)中找到两个序列代和都趋向于 x。,两个极限卧)和血都存 在，但不相等，这实际上是充要条件，充 分性的证明用本节定理就行了，必要性的 证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我 们目前也只用到它的充分性. 注1{fx,)}是数列，limf(x,)是数列的极限.所以这个定理把函数f(x)的 极限归结为数列{fx)}的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此， 可由数列极限的性质来推断函数极限性质. 注2从Heine定理可以得到一个说明1mfx)不存在的方法，即“若可找 到一个数列{化}，m,=,使得mf化，)不存在：”或“找到两个都以x为 极限的数列{{，}，使mfx,mfx,)都存在但不相等，则mf)不 存在. 例1证明1 imsin二不存在. 证明◆0,2→0，m安0 当然趋于0， 安，当然于1，当0时设极限 1 注3对于x→x。,x→x。,x→+0，x→-0这四种类型的单侧极限，相应的 归结原则可表示为更强的形式.如当x→x,时有：《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 x U0 (x0 ) 0  x − x0   ，使得 0 ( )  f x − A  . 令 ( 1,2, ) 1 = n =  n  ，则 n x U x x x n n 1   0 ( 0 ) , 0  − 0  ，使得 0 f (x ) − A   n . 对 于 序 列 { }n x ， 0 x x n → ， ( ) n 0 x U x  ， 但 0 f (x ) − A   n ， 显 然 与 条 件 f xn A n = → lim ( ) 矛盾. 判断 lim ( ) 0 f x x→x 不存在之方法：在 ( ) U x0 中找到两个序列 { }n x 和 { }n x 都趋向于 0 x ，两个极限 lim ( ) n n f x → 和 lim ( ) n n f x → 都存 在，但不相等，这实际上是充要条件，充 分性的证明用本节定理就行了，必要性的 证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我 们目前也只用到它的充分性. 注 1  f x( ) n  是数列， lim ( ) n n f x → 是数列的极限.所以这个定理把函数 f x( ) 的 极限归结为数列  f x( ) n  的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此， 可由数列极限的性质来推断函数极限性质. 注 2 从 Heine 定理可以得到一个说明 0 lim ( ) x x f x → 不存在的方法，即“若可找 到一个数列 xn， 0 lim n n x x → = ，使得 lim ( ) n n f x → 不存在；”或“找到两个都以 0 x 为 极限的数列 x x n n ,    ，使 lim ( ),lim ( ) n n n n f x f x → →   都存在但不相等，则 0 lim ( ) x x f x → 不 存在. 例 1 证明 0 1 limsin x→ x 不存在. 证明 令 0 2 1  = → n xn  ， 0 (2 ) 1 2 1 → +  = n  xn ， 0 1 sin =  n x , 当然趋于 0 ， 1 1 sin =  n x , 当然趋于 1 ，故 x 1 sin 当 x →0 时没极限. 注 3 对于 0 0 x x x x x x , , , → → → + → − + − 这四种类型的单侧极限，相应的 归结原则可表示为更强的形式.如当 0 x x → + 时有： y x