《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §3函数极限存在条件 教学章节：第三章函数极限一一§3函数极限存在条件 教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性 教学要求：学握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则 教学难点：海涅定理及柯西准则运用. 教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用. 教学过程： 引言 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯 西收敛准则”我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？ 或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任 务 本节的结论只对x→x,这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型 的函数极限也是成立的. 首先介绍一个很主要的结果一一海涅(Heine)定理（归结原则） 一、归结原则 定理1(Heine定理）设f在V(x,:)内有定义，mf)存在分对任何 含于U()且以x为极限的数列{x},极限imf(x)都存在且相等。 证明必要性：在U化)中任取序列，}，且血，=，要证 m,)=A.V6>0,由m)=A,36>0,使得当0<水-x<6时，有 )-A<5.对于6>0，由，→，3N,使得当m>N时，有0<.-<心， 于是当n>N时，有/c,)-A<E,即mf,)=A 充分性：如果不然，即x→x时，()不以A为极限，则3。>0,6>0， 1 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 §3 函数极限存在条件 教学章节：第三章 函数极限——§3 函数极限存在条件 教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性. 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路. 教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用. 教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用. 教学过程： 引言 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯 西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？ 或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任 务. 本节的结论只对 0 x x → 这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型 的函数极限也是成立的. 首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）. 一、归结原则 定理 1（Heine 定理） 设 f 在 0 0 U x( ; )   内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在  对任何 含于 0 0 U x( ; )   且以 0 x 为极限的数列 xn ，极限 lim ( ) n n f x → 都存在且相等. 证 明 必要性 : 在 ( ) U x0 中任取序列 { }n x ， 且 0 lim x x n n = → ，要证 f xn A n = → lim ( ) .   0 ，由 f x A x x = → lim ( ) 0 ，  0 ，使得当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   .对于   0 ，由 0 x x n → ，N ，使得当 n  N 时，有 0  xn − x0   ， 于是当 n  N 时，有 f x − A   n ( ) ，即 f xn A n = → lim ( ) . 充分性:如果不然，即 0 x → x 时， f (x) 不以 A 为极限，则  0  0，  0