臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1389· [2p2pp2]';将R展开为e和 构中面的等效应变，各个值分别为： 亚有关的函数，其中∈代表蛋盒型结构中面的应变，与 ∈，=112ew=1.2+%21,∈，=2.2， 式(1)中相同，亚代表单胞结构的位移，计算∈和亚之 K.=-.1,2K=-3,2,K,=-. (11) 间的关系，即可得到等效刚度特性 100x3 0 07 R=Te+TwΨ (8) 0 10 0 0 其中： 00 1 0 0 3 业=[少中中] (9) r.= (12) I12I3 L I 代表蛋盒型结构任意位置在局部坐标系下的位移 MM,M, M. Ms o e=[∈：2e,∈，K,2KwK,].(10) N N2 Na N Ns 应变e与公式(1)中的应变意义相同，代表蛋盒型结 ax 0 910X1 d a aX, ax aX2 +92aX1 a 0 3X2 920X2 a2 a2 (13) h成+l成+l h品+品+l%品 、02 成+成+ MnaX +MaX 82 +MpaX aX: Ma aX, +MeaX 2 +MsaX,aX: 2 M沉+M元 +MoaX,aX: a2 a2 Nn+元+Nnx 武+Ne成+ a2 式(12)和式(13)中的I,M,N代表与∈和亚相乘的 将式(7)写为式(1)的形式： 项，详细表达式由公式(6)和(3)整理展开后得到，带 人公式(7)和(8)可得到蛋盒型结构应变能的详细表 达式 1.3蛋盒型结构等效刚度特性有限元列式求解 2e(太+k.)ead（a8) 式(8)极其复杂，即使结合周期性边界条件，通过 因此可以得到刚度特性： 解析的方法很难得到∈和亚之间的关系，因此运用最 「A01 =石Km+K (19) 小能量原理和有限单元法得到∈和亚关系的数值解. LO DI 对亚进行离散可得： 其中的5。=-KwKe 亚=Cξ. (14) 蛋盒型结构等效刚度特性的求解过程如图3 式中，C为形函数，专代表离散后各点的亚值.为保证 所示 业连续，选用Hermite插值方法建立9节点Cl型单 1.4方法验证 元，将式(8)，式(14)带入式(7)可得： 选用中面形貌函数为x?=0.005sin(2πx,/0.03) J=2传'Kn5+25Ke+eKe. (15) sin(2mx2/0.03),t=0.0005m,E=71GPa,u=0.33的 铝制蛋盒型结构研究对象.根据图3所示蛋盒型结构 其中： 等效刚度特性的求解过程，首先对其形貌函数进行量 =arokrc)a 纲为一化，根据式(5)可得到其单胞结构应变能的表 e)raxds.. 达式，结合式(6)可将单胞结构的应变能运用渐进变 (16) 分法表述.单胞结构等效刚度特性的计算过程运用了 -ra 有限单元法，将单胞结构离散为400个单元，形函数的 表达形式利用Hermite矩形单元插值函数o],分别计 结合周期性结构的边界条件及最小能量原理[]， 算每个单元的刚度矩阵并得到总刚矩阵表达的应变 对式(15)进行求导可得到： 能，即式(15).该矩阵并不能直接求解，运用最小能量 Kws =-Kv.E. (17) 原理对矩阵进行约束，可以求得矩阵关系的等式，此时臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 [准 0 11 2准 0 12 准 0 22 籽 0 11 2籽 0 12 籽 0 22 ] T ;将 R 展开为 缀 和 追 有关的函数,其中 缀代表蛋盒型结构中面的应变,与 式(1)中相同,追 代表单胞结构的位移,计算 缀和 追 之 间的关系,即可得到等效刚度特性. R = 祝缀缀 + 祝追追. (8) 其中: 追 = [鬃1 鬃2 鬃3 ] T . (9) 代表蛋盒型结构任意位置在局部坐标系下的位移. 缀 = [缀x 2缀xy 缀y 资x 2资xy 资y] T . (10) 应变 缀 与公式(1) 中的应变意义相同,代表蛋盒型结 构中面的等效应变,各个值分别为: 缀x = 淄1,1 ,2缀xy = 淄1,2 + 淄2,1 ,缀y = 淄2,2 , 资x = - 淄3,11 ,2资xy = - 淄3,12 ,资y = - 淄3,22 . (11) 祝缀 = 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 0 x3 I1 I2 I3 I4 I5 I6 M1 M2 M3 M4 M5 M6 N1 N2 N3 N4 N5 N é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 6 . (12) 祝追 = 鄣 鄣X1 0 渍1 鄣 鄣X1 鄣 鄣X2 鄣 鄣X1 渍1 鄣 鄣X2 + 渍2 鄣 鄣X1 0 鄣 鄣X2 渍2 鄣 鄣X2 I71 鄣 鄣X1 + I72 鄣 鄣X2 + I73 鄣 2 鄣X 2 1 I81 鄣 鄣X1 + I82 鄣 鄣X2 + I83 鄣 2 鄣X 2 1 I91 鄣 鄣X1 + I92 鄣 鄣X2 + I93 鄣 2 鄣X 2 1 M71 鄣 鄣X1 + M72 鄣 鄣X2 + M73 鄣 2 鄣X1 鄣X2 M81 鄣 鄣X1 + M82 鄣 鄣X2 + M83 鄣 2 鄣X1 鄣X2 M91 鄣 鄣X1 + M92 鄣 鄣X2 + M93 鄣 2 鄣X1 鄣X2 N71 鄣 鄣X1 + N72 鄣 鄣X2 + N73 鄣 2 鄣X 2 2 N81 鄣 鄣X1 + N82 鄣 鄣X2 + N83 鄣 2 鄣X 2 2 N91 鄣 鄣X1 + N92 鄣 鄣X2 + N93 鄣 2 鄣X é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú 2 ú 2 . (13) 式(12)和式(13) 中的 I,M,N 代表与 缀 和 追 相乘的 项,详细表达式由公式(6)和(3)整理展开后得到,带 入公式(7)和(8)可得到蛋盒型结构应变能的详细表 达式. 1郾 3 蛋盒型结构等效刚度特性有限元列式求解 式(8)极其复杂,即使结合周期性边界条件,通过 解析的方法很难得到 缀和 追 之间的关系,因此运用最 小能量原理和有限单元法得到 缀 和 追 关系的数值解. 对 追 进行离散可得: 追 = C孜. (14) 式中,C 为形函数,孜 代表离散后各点的 追 值. 为保证 追 连续,选用 Hermite 插值方法建立 9 节点 C1 型单 元,将式(8),式(14)带入式(7)可得: J = 1 2 (孜 TK追追 孜 + 2孜 TK追着 缀 + 缀 TK着着 缀). (15) 其中: K追追 = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 ((祝追 C) TK(祝追 C))dX1 dX2 , K追着 = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 ((祝追 C) TK祝缀)dX1 dX2 , K着着 = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 (祝 T 缀 K祝缀)dX1 dX2 . (16) 结合周期性结构的边界条件及最小能量原理[19] , 对式(15)进行求导可得到: K追追孜 = - K追着 缀. (17) 将式(7)写为式(1)的形式: J = 1 2 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 缀 T A 0 0 [ ] D æ è ç ö ø 缀÷dX1 dX2 = 1 2 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 (缀 T (孜 T 0K追着 + K着着 )缀)dX1 dX2 . (18) 因此可以得到刚度特性: A 0 0 [ ] D = 孜 T 0K追着 + K着着 . (19) 其中的孜0 = - K - 1 追追K追着 . 蛋盒型结构等效刚度特性的求解过程如图 3 所示. 1郾 4 方法验证 选用中面形貌函数为 x3 = 0郾 005sin (2仔x1 / 0郾 03) sin (2仔x2 / 0郾 03),t = 0郾 0005 m,E = 71 GPa,滋 = 0郾 33 的 铝制蛋盒型结构研究对象. 根据图 3 所示蛋盒型结构 等效刚度特性的求解过程,首先对其形貌函数进行量 纲为一化,根据式(5) 可得到其单胞结构应变能的表 达式,结合式(6) 可将单胞结构的应变能运用渐进变 分法表述. 单胞结构等效刚度特性的计算过程运用了 有限单元法,将单胞结构离散为 400 个单元,形函数的 表达形式利用 Hermite 矩形单元插值函数[20] ,分别计 算每个单元的刚度矩阵并得到总刚矩阵表达的应变 能,即式(15). 该矩阵并不能直接求解,运用最小能量 原理对矩阵进行约束,可以求得矩阵关系的等式,此时 ·1389·