·1388· 工程科学学报，第39卷，第9期 图2蛋盒型的形貌及其单胞坐标量纲为一化.(a)结构形貌：(b)A-A截面：(c)B-B截面 Fig.2 Geometry of egg-box structure:(a)entire geometry;(b)section A-A (c):section B-B Ni dui, 2中p=。axg ((a4eP+a0s)小+ Ea（(ape)2+ata"p.Pw)）ds. 24(1+u)T1-u nu+9(en%+e0b2). 2 ax (5) (3) 1.2基于渐进变分法的蛋盒型单胞结构能量表达 式中：4：表示结构在全局坐标系下的位移分量，「代 以单胞为研究对象，建立一个量纲为一的局部坐 表克里斯托弗尔符号，「。代表曲面的切向量分量，n:代 标系X。,X。的范围为-1/2到1/2，根据一般周期结构 表曲面的法向量分量，e.代表Levi-Civita张量，0代表 材料的渐进变分法的表述16)，可以将双方向周期排 浆法向矢景的底转角9=26（之-2)，以= 布板壳结构的位移表述为以下方式： 2（ 山1(X1,X2,x1,x2,x)=(x1,x2,x3)+ abm,a吧为曲面的度量张量，bn为曲面形貌的二次形 p吨，(X1,X2,x,x2x3)-x(X1,X2)D.1 式，a为‖a‖的行列式.上述公式及后续公式中a, 山2（X,X2,x1,x2,x3）=2(x1,x2,x3）+ B,y取值为1,2，i取值为1,2,3. p2(X1,X2,x,x2,)-（X,X)2 则蛋盒型结构的应变能密度为[6： 山3（X,X2,x1,2,x3）=3（x1,x2,x3）+ b=2+a*a*0ns）+ Et p3(X1,X2,x1,2,x3）. (6) 其中的：代表全局坐标系下蛋盒型结构中面的位移， ain(ap产+agp） (4) 山：代表局部坐标系下单胞结构的位移，.。代表对 X。求导.则结合式(1)、式(5)和式(6)，单胞的应变 式中，E为基础材料的杨氏模量，4为材料的泊松比 能可写为公式(7)所示的形式 蛋盒型结构单胞上的应变能可以表达为： 1=R)a, (7) 式中：K为材料的刚度，由式(5)展开可得：R=工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 图 2 蛋盒型的形貌及其单胞坐标量纲为一化. (a)结构形貌;(b)A鄄鄄A 截面;(c)B鄄鄄B 截面 Fig. 2 Geometry of egg鄄box structure: (a) entire geometry; (b) section A鄄鄄A (c); section B鄄鄄B 2准琢茁 = r i 琢 鄣ui 鄣x茁 + r i 茁 鄣ui 鄣x琢 , 2籽琢茁 = 鄣 鄣x ( 茁 ni 鄣ui 鄣x ) 琢 + 鄣 鄣x ( 琢 ni 鄣ui 鄣x ) 茁 - 2祝 酌 琢茁 ni 鄣ui 鄣x酌 + 兹(e酌琢 b 酌 茁 + e酌茁 b 酌 琢 ). (3) 式中:ui 表示结构在全局坐标系下的位移分量,祝 酌 琢茁代 表克里斯托弗尔符号,r i 琢 代表曲面的切向量分量,ni 代 表曲面的法向量分量,e酌琢代表 Levi鄄鄄Civita 张量,兹 代表 绕法向矢量的旋转角 兹 = 1 2 ( a r i 1 鄣ui 鄣x2 - r i 2 鄣ui 鄣x ) 1 ,b 酌 琢 = a 琢茁 b茁酌 ,a 琢茁为曲面的度量张量,b茁酌为曲面形貌的二次形 式,a 为椰a 琢茁椰的行列式. 上述公式及后续公式中 琢, 茁,酌 取值为 1,2,i 取值为 1,2,3. 则蛋盒型结构的应变能密度为[16] : 椎 = Et 2(1 + 滋 ( ) u 1 - 滋 (a 琢茁准琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄准琢酌准茁啄 ) + Et 3 24(1 + 滋 ( ) 滋 1 - 滋 (a 琢茁 籽琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄 籽琢酌 籽茁啄 ). (4) 式中,E 为基础材料的杨氏模量,滋 为材料的泊松比. 蛋盒型结构单胞上的应变能可以表达为: J = 蓦S 椎 adS = 蓦 ( S Et a 2(1 + 滋 ( ) 滋 1 - 滋 (a 琢茁准琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄准琢酌准茁啄 ) + Et 3 a 24(1 + 滋 ( ) 滋 1 - 滋 (a 琢茁 籽琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄 籽琢酌 籽茁啄 ) ) dS. (5) 1郾 2 基于渐进变分法的蛋盒型单胞结构能量表达 以单胞为研究对象,建立一个量纲为一的局部坐 标系 X琢 ,X琢 的范围为 - 1 / 2 到 1 / 2,根据一般周期结构 材料的渐进变分法的表述[16鄄鄄17] ,可以将双方向周期排 布板壳结构的位移表述为以下方式: u1 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) = v1 (x1 ,x2 ,x3 ) + p鬃1 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) - x3 (X1 ,X2 )v3,1 , u2 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) = v2 (x1 ,x2 ,x3 ) + p鬃2 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) - x3 (X1 ,X2 )v3,2 , u3 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) = v3 (x1 ,x2 ,x3 ) + p鬃3 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ). (6) 其中的 vi 代表全局坐标系下蛋盒型结构中面的位移, 鬃i 代表局部坐标系下单胞结构的位移,v3,琢代表 v3 对 X琢 求导. 则结合式(1)、式(5)和式(6),单胞的应变 能可写为公式(7)所示的形式. J = 1 2 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 (R TKR)dX1 dX2 . (7) 式中:K 为 材 料 的 刚 度, 由 式 ( 5 ) 展 开 可 得; R = ·1388·