臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1387· 目前对蛋盒型结构进行应用的主要方面为碰撞吸 单胞结构上具有形貌复杂的特点，并且宏观结构尺寸 能装置的使用，因此对其的研究主要在失效原理和吸 远大于单胞尺寸，如图1所示. 能能力两个方面.Deshpande与Fleck[]运用塑性铰理 论得到了蛋盒型结构的失效机制图，描述了在不同载 荷情况下的失效形式.Zpan等)研究了蛋盒型结构 在落锤试验过程中的失效形式，并对比了蛋盒型结构 与金属泡沫的吸能能力.Akisanya与Fleck4研究了蛋 盒型结构中单个结构在压缩与剪切载荷共同作用时的 失效形式.Chang等s-)研究了纤维材料制造的蛋盒 10 mm 型结构的准静态压缩过程的变形过程和吸能能力，以 图1蛋盒型结构的形貌[3) 及泡沫填充的蛋盒型结构在准静态压缩过程的吸能能 Fig.I Photograph of aluminum egg-box structure 力.Nowpada等s-)对不同结构参数的铝制蛋盒型结 根据图1，图2所示，蛋盒型结构形貌可近似为正 构在不同边界条件下进行了准静态压缩试验，得到了 弦形状，其公式为z=Hsin(2mx/p)sin(2ry/p)/2,结 结构在压缩过程中的最大载荷能力及结构失效情况 构参数主要包括正弦函数的高度H,周期间距P,假设 等.Sashikumar等[o运用有限元的方法研究了蛋盒型 蛋盒型结构各位置厚度均为：，为便于后续计算需对其 结构在不同边界条件时的吸能能力.已有的研究均表 单胞结构的函数进行量纲为一化 明蛋盒型结构在破坏过程中具有较强的吸能能力，在 1.1蛋盒型结构的应变能 某些情况下可替代泡沫结构或蜂窝结构 蛋盒型结构的单胞尺寸远小于蛋盒型结构的宏观 目前的研究对蛋盒型结构的宏观刚度特性问题研 尺寸，单胞在x方向和y方向周期排布并且在两个方 究较少，实际上，相对于蜂窝、瓦楞、泡沫铝等结构，蛋 向具有相同的间距，可将其假设为一种符合Kirchhoff 盒型结构在保证吸能能力的前提下还具有更高的比刚 假设的各向异性薄板，并且不会产生拉伸弯曲耦合刚 度，更强的侧向载荷承载能力等良好的力学特性，同时 度，根据各向异性薄板结构能量的表达方式，应变能可 有研究发现蛋盒型结构还具有负泊松比等特异性的属 表达为下式， 性]，因此蛋盒型结构适合于替代其他轻质结构作为 Ja 承载构件进行使用.等效刚度特性是一种用来表征轻 [Au 0 A 0 0 01e. 质结构承载能力的参数，可以高效计算得到宏观结构 0 An 0 0 0 0 在不同载荷情况下的位移响应[2-]，为结构的应用奠 An 0 A 0 0 0 定基础.蛋盒型结构由于其单胞形貌复杂，用于瓦楞 2 dS. 结构等效刚度特性的解析方法[4-]对蛋盒型结构并 0 0 D Da Kg 不直接适用，利用传统有限元仿真方法对其宏观结构 2K 0 0 0 0 D2 0 2K到 进行分析时需要大量的网格来表征单胞结构，效率低 0 0 0 De 0 , 精度差.渐进变分法是一种计算周期性材料等效刚度 (1) 特性的通用方法[)，其具有严格的数学公式推导，计 式中：E,∈，E,代表拉伸应变；K,K,K,代表弯曲应 算精度高，可用于蛋盒型结构等效刚度特性的计算. 变：A代表拉伸刚度，A和A,代表拉（压）力与中面拉 因此本文拟利用渐进变分法研究蛋盒型结构等效刚度 伸（压缩）应变之间的刚度系数，A,代表结构在单向受 特性与结构参数之间的关系，并实现结构参数的正向 拉或受压时，产生的纵向力与横向正应变之间的刚度 主动优化设计. 系数，A2代表剪切力与中面剪应变之间的刚度系数；D 基于以上分析，本文首先以蛋盒型结构的单胞结构 代表弯曲刚度，D,和D:代表弯矩与曲率之间的刚度 为研究对象，运用渐进变分法和有限单元法[侧建立了蛋 系数，D定义与A类似，D,代表扭转与扭曲率之间的 盒型结构等效刚度特性的数值计算模型，并使用传统有 刚度系数四，因为两个方向周期相同，所以A=A, 限元方法对计算模型进行了对比验证：然后基于该方法 D1=D3,S为薄板的面积范围. 研究了不同结构参数时的等效刚度特性，以等效刚度特 蛋盒型结构的中面位置矢量可以表达为： 性为因变量，结构参数为自变量进行拟合：最后研究了蛋 r(x,y)=xe +ye2 +zes (2) 盒型结构基于数值计算模型结果的最优参数设计方法. 式中：z为x和y的函数，e,e2,C3分别代表笛卡尔坐标 1蛋盒型结构等效刚度特性的计算 系下x,y,2方向的基矢。令x1=x,x2=y,x=z,任意形 状壳体的拉伸应变中。和弯曲应变p。可以写成山：有 蛋盒型结构在宏观上呈现出各向异性的特点，在 关的公式[]臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 目前对蛋盒型结构进行应用的主要方面为碰撞吸 能装置的使用,因此对其的研究主要在失效原理和吸 能能力两个方面. Deshpande 与 Fleck [2] 运用塑性铰理 论得到了蛋盒型结构的失效机制图,描述了在不同载 荷情况下的失效形式. Zupan 等[3] 研究了蛋盒型结构 在落锤试验过程中的失效形式,并对比了蛋盒型结构 与金属泡沫的吸能能力. Akisanya 与 Fleck [4]研究了蛋 盒型结构中单个结构在压缩与剪切载荷共同作用时的 失效形式. Chang 等[5鄄鄄7] 研究了纤维材料制造的蛋盒 型结构的准静态压缩过程的变形过程和吸能能力,以 及泡沫填充的蛋盒型结构在准静态压缩过程的吸能能 力. Nowpada 等[8鄄鄄9]对不同结构参数的铝制蛋盒型结 构在不同边界条件下进行了准静态压缩试验,得到了 结构在压缩过程中的最大载荷能力及结构失效情况 等. Sashikumar 等[10]运用有限元的方法研究了蛋盒型 结构在不同边界条件时的吸能能力. 已有的研究均表 明蛋盒型结构在破坏过程中具有较强的吸能能力,在 某些情况下可替代泡沫结构或蜂窝结构. 目前的研究对蛋盒型结构的宏观刚度特性问题研 究较少,实际上,相对于蜂窝、瓦楞、泡沫铝等结构,蛋 盒型结构在保证吸能能力的前提下还具有更高的比刚 度,更强的侧向载荷承载能力等良好的力学特性,同时 有研究发现蛋盒型结构还具有负泊松比等特异性的属 性[11] ,因此蛋盒型结构适合于替代其他轻质结构作为 承载构件进行使用. 等效刚度特性是一种用来表征轻 质结构承载能力的参数,可以高效计算得到宏观结构 在不同载荷情况下的位移响应[12鄄鄄13] ,为结构的应用奠 定基础. 蛋盒型结构由于其单胞形貌复杂,用于瓦楞 结构等效刚度特性的解析方法[14鄄鄄16] 对蛋盒型结构并 不直接适用,利用传统有限元仿真方法对其宏观结构 进行分析时需要大量的网格来表征单胞结构,效率低 精度差. 渐进变分法是一种计算周期性材料等效刚度 特性的通用方法[17] ,其具有严格的数学公式推导,计 算精度高,可用于蛋盒型结构等效刚度特性的计算. 因此本文拟利用渐进变分法研究蛋盒型结构等效刚度 特性与结构参数之间的关系,并实现结构参数的正向 主动优化设计. 基于以上分析,本文首先以蛋盒型结构的单胞结构 为研究对象,运用渐进变分法和有限单元法[18]建立了蛋 盒型结构等效刚度特性的数值计算模型,并使用传统有 限元方法对计算模型进行了对比验证;然后基于该方法 研究了不同结构参数时的等效刚度特性,以等效刚度特 性为因变量,结构参数为自变量进行拟合;最后研究了蛋 盒型结构基于数值计算模型结果的最优参数设计方法. 1 蛋盒型结构等效刚度特性的计算 蛋盒型结构在宏观上呈现出各向异性的特点,在 单胞结构上具有形貌复杂的特点,并且宏观结构尺寸 远大于单胞尺寸,如图 1 所示. 图 1 蛋盒型结构的形貌[3] Fig. 1 Photograph of aluminum egg鄄box structure 根据图 1,图 2 所示,蛋盒型结构形貌可近似为正 弦形状,其公式为 z = Hsin (2仔x / p) sin (2仔y / p) / 2,结 构参数主要包括正弦函数的高度 H,周期间距 p,假设 蛋盒型结构各位置厚度均为 t,为便于后续计算需对其 单胞结构的函数进行量纲为一化. 1郾 1 蛋盒型结构的应变能 蛋盒型结构的单胞尺寸远小于蛋盒型结构的宏观 尺寸,单胞在 x 方向和 y 方向周期排布并且在两个方 向具有相同的间距,可将其假设为一种符合 Kirchhoff 假设的各向异性薄板,并且不会产生拉伸弯曲耦合刚 度,根据各向异性薄板结构能量的表达方式,应变能可 表达为下式, J = 1 2 蓦s 缀x 2缀xy 缀y 资x 2资xy 资 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï ï ï ï ï y T A11 0 A13 0 0 0 0 A22 0 0 0 0 A13 0 A33 0 0 0 0 0 0 D11 0 D13 0 0 0 0 D22 0 0 0 0 D13 0 D é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 33 缀x 2缀xy 缀y 资x 2资xy 资 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï ï ï ï ï y dS. (1) 式中:缀x,缀xy,缀y 代表拉伸应变;资x,资xy,资y 代表弯曲应 变;A 代表拉伸刚度,A11和 A13代表拉(压)力与中面拉 伸(压缩)应变之间的刚度系数,A13代表结构在单向受 拉或受压时,产生的纵向力与横向正应变之间的刚度 系数,A22代表剪切力与中面剪应变之间的刚度系数;D 代表弯曲刚度,D11和 D13代表弯矩与曲率之间的刚度 系数,D13定义与 A13类似,D22代表扭转与扭曲率之间的 刚度系数[22] ,因为两个方向周期相同,所以 A11 = A33 , D11 = D33 ,S 为薄板的面积范围. 蛋盒型结构的中面位置矢量可以表达为: r(x,y) = x^e1 + y^e2 + z ^e3 . (2) 式中:z 为 x 和 y 的函数,^e1 ,^e2 ,^e3 分别代表笛卡尔坐标 系下 x,y,z 方向的基矢. 令 x1 = x,x2 = y,x3 = z,任意形 状壳体的拉伸应变 准琢茁和弯曲应变 籽琢茁可以写成 ui 有 关的公式[17] . ·1387·