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z12a. nb 9 122正交曲线坐标系中的分离变量 本节以柱坐标与球坐标为例,讨论在正交曲线坐标系中求解 Helmholtz方程的分离变量法。 Q为何关注 Helmhol方程 为何对 Helmholtz方程情有独钟?最常见的数理方程大致分为三类:波动方程、扩散方程、稳定问题的 Laplace方程。 从以下讨论可见, Laplace方程是 Helmholtz方程的特殊形式。 而波动方程和扩散方程在做了时空坐标分离之后,空间部分满足的微分方程也为 Helmholtz方程。 ■波动方程(此处仅讨论齐次标量波动方程,矢量波动方程的求解也以标量波动方程为基础) 标量波动方程:a为时空的标量函数 lm-a2V2u=0时空分离:(x,y,,D)=v(x,y,z)(代入波动方程 T"()y(x,y,x)-a2T(v2w(x,y,2)=0 a2Twx-A其中λ为常数。 从而:{r0+a2m0=0 空间部分w(x,y,)满足的就是 Helmhol方程。 v-w(x,, =)+Aw(x, y, =)=0 实际上,从时间函数f(n)满足的方程就可隐约看出:A≥0 因为,若λ<0,λ=-y2,必有T~ ethan,指数上升不合物理,指数下降很快衰减,不构成波 ■扩散方程(热传导方程) -a2V2u=0时空分离:txr,y,z,D=w(x,y,2)T()代入扩散方程 T(w(x,y, =)-1(ovw(x,, 3)=0- T( Vw(x, y, =) A其中λ为常数。 从而:{T(0+A()=0 2v(x,y,)+Aw(xy2=0空间部分 x,y,=)满足的也是 Helmholtz方程 实际上,从时间函数T()满足的方程就可隐约看出:A≥0 因为,若A<0,A=-y2,必有T~e2r,指数上升不合物 ■稳定问题的 Laplace方程 V2a=0相当于A=0的 helmholtz方程 因此,我们要讨论利用分离变量法求解标量 Helmholtz方程 Q柱坐标系中 Helmholtz方程的分高变量 利用柱坐标系的 Laplacian V2的表达式 1(a2g)a2 ap) p2la82 可得柱坐标系中 Helmholtz方程v2w(x,y,z)+Aw(x,y,z)=0化为 +Aw=0,其中A≥0为时空分离时引入的常数 分离变量,令:w(p,d,2)=R)d)Z(),代入上式 Helmholtz方程,有 Φ z d dR)RZ(d2 d 2Z12.2 正交曲线坐标系中的分离变量 本节以柱坐标与球坐标为例,讨论在正交曲线坐标系中求解 Helmholtz 方程的分离变量法。  为何关注 Helmholtz 方程 为何对 Helmholtz 方程情有独钟?最常见的数理方程大致分为三类:波动方程、扩散方程、稳定问题的 Laplace 方程。 从以下讨论可见,Laplace方程是 Helmholtz 方程的特殊形式。 而波动方程和扩散方程在做了时空坐标分离之后,空间部分满足的微分方程也为 Helmholtz 方程。 ◼ 波动方程(此处仅讨论齐次标量波动方程,矢量波动方程的求解也以标量波动方程为基础) 标量波动方程 :u 为时空的标量函数 utt - a2 ∇2 u = 0 时空分离 :u(x, y, z, t) = w(x, y, z) T(t) 代入波动方程 T″(t) w(x, y, z) - a2 T(t) ∇2w(x, y, z) = 0 ⟶ T″(t) a2 T(t) = ∇2w(x, y, z) w(x, y, z) = -λ 其中 λ 为常数。 从而: T″(t) + λ a2 T(t) = 0 ∇2w(x, y, z) + λ w(x, y, z) = 0 空间部分 w(x, y, z) 满足的就是 Helmholtz方程。 实际上,从时间函数 T(t) 满足的方程就可隐约看出 :λ ≥ 0。 因为,若 λ < 0, λ = -γ2, 必有 T~ ± γ a t ,指数上升不合物理 ,指数下降很快衰减 ,不构成波 。 ◼ 扩散方程(热传导方程) ut - a2 ∇2 u = 0 时空分离:u(x, y, z, t) = w(x, y, z) T(t) 代入扩散方程 T′ (t) w(x, y, z) - a2 T(t) ∇2w(x, y, z) = 0 ⟶ T′ (t) a2 T(t) = ∇2w(x, y, z) w(x, y, z) = -λ 其中 λ 为常数。 从而: T′ (t) + λ a2 T(t) = 0 ∇2w(x, y, z) + λ w(x, y, z) = 0 空间部分 w(x, y, z) 满足的也是 Helmholtz方程。 实际上,从时间函数 T(t) 满足的方程就可隐约看出 :λ ≥ 0。 因为,若 λ < 0, λ = -γ2, 必有 T~  γ2 a2 t ,指数上升不合物理 。 ◼ 稳定问题的Laplace方程 ∇2 u = 0 相当于 λ = 0 的Helmholtz方程。 因此,我们要讨论利用分离变量法求解标量 Helmholtz 方程。  柱坐标系中Helmholtz方程的分离变量 利用柱坐标系的Laplacian ∇2 的表达式 ∇2 φ = 1 ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ φ ∂ ρ + 1 ρ2 ∂2 φ ∂ ϕ2 + ∂2 φ ∂ z2 可得柱坐标系中Helmholtz方程 ∇2w(x, y, z) + λ w(x, y, z) = 0 化为: 1 ρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ w ∂ ρ + 1 ρ2 ∂2w ∂ ϕ2 + ∂2w ∂ z2 + λ w = 0, 其中 λ ≥ 0 为时空分离时引入的常数 。 分离变量,令:w(ρ, ϕ, z) = R(ρ) Φ(ϕ) Z(z),代入上式 Helmholtz方程,有: Φ Z ρ  ρ ρ R ρ + R Z ρ2 2 Φ ϕ2 + R Φ 2 Z z2 + λ R Φ Z = 0 z12a.nb 9
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