10 z12anb d( dR dΦ1d2Z d Z +A=0, 仅依赖于z,故必为常数 r dp( dpp dd2 z d= z d- 1442)+1+A=-12= pR dpl dp)e2 a do2 z d- 其中利用了左边与二无关,右边仅依赖于二,两者相等,必为常数,记为μ。从而有方程: p(4/*(-p)n2=、1d2 进而化为 +Q-Ap2-y0= PR"+pR+la-HP-yIR r dpt d 以上实现了变量分离,问题退化为一些常微分方程 但引进了三个待定常数:,,y,分别源自:分离时间、分离Z=)和分离4(d) 下一步就是把三元函数的边界条件化为单变量函数的边界条件 进而确定这些待定常数的允许取值,即求本征值与本征函数。我们将在下一章仔细讨论 Take-home message:柱坐标系中 Helmholtz方程的分离变量 z"+Z=0 V-w(p, o, =)+A w(e, o, = A20, Helmhol方程 PR+pR+a-HP2-yR= Q球坐标系中 Helmholtz方程的分高变量 利用球坐标系的 Laplacian表达式 可得球坐标系中 Helmholtz方程:V2w+Aw=0化为 1a(、a diaw +Aw=0, ae)sin20 862 其中λ为时空分离时引入的常数。 令:w(r,B,)=R()6(d),代入上式 Helmholtz方程,有 Φ d RΦ ro d2o +AReΦ=0 r2 dr dr)r2 sin e de sing de)r sin g d62 dΦ re dr dr)orin e de opr sing do +A=0 接下去,可先分出r Ar2=-l(1+1) 其中利用了左边与r无关,右边只依赖于r,两者相等,必为常数,记为-l+1) 从而有方程 (R)+ sing d (sin 60)+ @ e de ++1)=0 (sin 80,)+/(+ 1)sin-0 o de 也可先分出d1 ρ R  ρ ρ R ρ + 1 ρ2 Φ 2 Φ ϕ2 + 1 Z 2 Z z2 + λ = 0， 1 Z 2 Z z2 仅依赖于 z，故必为常数 1 ρ R  ρ ρ R ρ + 1 ρ2 Φ 2 Φ ϕ2 + λ = - 1 Z 2 Z z2 = μ 其中利用了左边与 z 无关，右边仅依赖于 z，两者相等，必为常数，记为 μ。从而有方程： Z″ + μ Z = 0 ρ R  ρ ρ R ρ + (λ - μ) ρ2 = - 1 Φ 2 Φ ∂ ϕ2 = γ 进而化为： Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ R  ρ ρ R ρ + (λ - μ) ρ2 - γ = 0 ⟹ ρ2 R″ + ρ R′ + (λ - μ) ρ2 - γ R = 0 以上实现了变量分离，问题退化为一些常微分方程， 但引进了三个待定常数：λ, μ, γ，分别源自：分离时间、分离 Z(z) 和分离 Φ(ϕ) 下一步就是把三元函数的边界条件化为单变量函数的边界条件， 进而确定这些待定常数的允许取值，即求本征值与本征函数。我们将在下一章仔细讨论。 Take-home message: 柱坐标系中 Helmholtz 方程的分离变量 ∇2w(ρ, ϕ, z) + λ w(ρ, ϕ, z) = 0 λ≥0, Helmholtz 方程 w(ρ,ϕ,z)=R(ρ) Φ(ϕ) Z (z) Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ2 R″ + ρ R′ + (λ - μ) ρ2 - γ R = 0  球坐标系中Helmholtz方程的分离变量 利用球坐标系的Laplacian表达式 ∇2 φ = 1 r2 ∂ ∂ r r2 ∂ φ ∂ r + 1 r2 sin θ ∂ ∂ θ sin θ ∂ φ ∂ θ + 1 r2 sin2 θ ∂2 φ ∂ ϕ2 可得球坐标系中Helmholtz方程：∇2w + λ w = 0 化为 1 r2 ∂ ∂ r r2 ∂ w ∂ r + 1 r2 sin θ ∂ ∂ θ sin θ ∂ w ∂ θ + 1 r2 sin2 θ ∂2w ∂ ϕ2 + λ w = 0, 其中 λ 为时空分离时引入的常数 。 令：w(r, θ, ϕ) = R(r) Θ(θ) Φ(ϕ)，代入上式 Helmholtz方程，有： Θ Φ r2  r r2 R r + R Φ r2 sin θ  θ sin θ Θ θ + R Θ r2 sin2 θ 2 Φ ϕ2 + λ R Θ Φ = 0 1 R r2  r r2 R r + 1 Θ r2 sin θ  θ sin θ Θ θ + 1 Φ r2 sin2 θ 2Φ ϕ2 +λ = 0 接下去，可先分出 r 1 Θ sin θ  θ sin θ Θ θ + 1 Φ sin2 θ 2 Φ ϕ2 = - 1 R  r r2 R r - λ r2 = -l(l + 1) 其中利用了左边与 r 无关，右边只依赖于 r，两者相等，必为常数，记为 -l(l + 1)。 从而有方程：  r r2 R′  +λ r2 -l(l + 1) R = 0 1 Θ sin θ  θ (sin θ Θ′ ) + Φ″ Φ sin2 θ + l(l + 1) = 0 ⟶ sin θ Θ  θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1)sin2 θ = - Φ″ Φ = γ 也可先分出 ϕ 10 z12a.nb