张量定义及其代数运算 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11多重线性函数 定义1.1(多重线性函数,张量).映照 更:R"×…×R"3{u1,…,"2}→更(u1,…:,p)∈R 满足对第i变量的线性性,即 ui+ Bi 更 )+更( 如果φ满足对其所有变量的线性性,则称φ为重线性函数,或者称为p阶张量.记p阶张量 的全体为P(Rm),Rm为底空间 定义12(张量线性空间).可对p阶张量空间P(Rm)引入线性结构: 加法(更+亚)(u1,…,u)更(u1,…,u)+重au1,…,up),更,更∈(Rm); 数乘(a)(u1,…,up)全a更u1,…,up),Ⅴa∈R 由此,P(Rm)成为线性空间 定义1.3(简单张量),.设有VE,m,∈Rm,如下映照: ⑧T⑧s:R"xRm"xRm{u,0,}→⑧n⑧(u,,t) (E, u)Rm(n, uRm(S, w ) 称为简单张量 按内积的线性性,易见函数E⑧η⑧对其第二变量具有线性性: E8n8slu, au+ Bu, w=(E, u)Rm(n, au+ BuRm(S, w)rm a必"⑧(,0,)+B⑧(,,),Va,B∈R. 类似可得,E⑧(对其所有变量具有线性性,亦即有En⑧∈3(Rm).上述定义自然可推 广至由有限个向量所构成的简单张量 对于简单张量,具有如下代数性质.张量分析讲稿谢锡麟 张量定义及其代数运算 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 多重线性函数 定义 1.1 (多重线性函数, 张量). 映照 Φ : R m × · · · × R m ∋ {u1, · · · ,up} 7→ Φ(u1, · · · ,up) ∈ R 满足对第 i 变量的线性性, 即 Φ(u1, · · · , αu˜i + βuˆi , · · · ,up) = αΦ(u1, · · · ,u˜i , · · · ,up) + βΦ(u1, · · · ,uˆi , · · · ,up) ∈ R. 如果 Φ 满足对其所有变量的线性性, 则称 Φ 为p 重线性函数, 或者称为p 阶张量 . 记 p 阶张量 的全体为 T p (R m), R m 为底空间. 定义 1.2 (张量线性空间). 可对 p 阶张量空间 T p (R m) 引入线性结构: 加法 (Φ + Ψ)(u1, · · · ,up) , Φ(u1, · · · ,up) + Ψ(u1, · · · ,up), ∀ Φ, Ψ ∈ T p (R m); 数乘 (αΦ)(u1, · · · ,up) , αΦ(u1, · · · ,up), ∀ α ∈ R. 由此, T p (R m) 成为线性空间. 定义 1.3 (简单张量). 设有 ∀ ξ, η, ζ ∈ R m, 如下映照: ξ ⊗ η ⊗ ζ : R m × R m × R m ∋ {u, v, w} 7→ ξ ⊗ η ⊗ ζ(u, v, w) , (ξ,u)Rm(η, v)Rm(ζ, w)Rm 称为简单张量. 按内积的线性性, 易见函数 ξ ⊗ η ⊗ ζ 对其第二变量具有线性性: ξ ⊗ η ⊗ ζ(u, αv˜ + βvˆ, w) , (ξ,u)Rm(η, αv˜ + βvˆ)Rm(ζ, w)Rm = αξ ⊗ η ⊗ ζ(u, v˜, w) + βξ ⊗ η ⊗ ζ(u, vˆ, w), ∀ α, β ∈ R. 类似可得, ξ ⊗ η ⊗ ζ 对其所有变量具有线性性, 亦即有 ξ ⊗ η ⊗ ζ ∈ T 3 (R m). 上述定义自然可推 广至由有限个向量所构成的简单张量. 对于简单张量, 具有如下代数性质. 1