张量定义及其代数运算 谢锡麟 性质1.1(简单张量线性性质).以三阶简单张量为例,可有: ⑧(+B⑧=a⑧②+B⑧们⑧∈(),Va,B∈R. 证明对u,v,u∈Rm,计算 5(o+所)(,,)=(,u)gm(o+B,v)m(,u)g (4, u)Rm(n, U)Rm(S, w)Rm +B(5, u)Rm(n, U)Rm(S, w)R a必i⑧((u,,)+B分(u,v,U) (a⑧+B必⑧S)(u,,U) 易见,对构成简单张量的各个向量都具有上述线性性 1.2对偶基与向量的表示 本节引入对偶基,可说明有限维 Euclid空间中的仼意一个基唯一确定其对偶基.由此,仼意 个向量既可由原有的基表示,亦可由其对偶基表示.进一步,由于原有的基确定其对偶基,则 个向量相对于原有的基及其对偶基的分量之间必然存在关联 定理12(对偶基的存在唯一性).设{9;}1为Rm空间的一组基,则必然唯一存在另外 组基{g3}m1,满足 用矩阵运算可以表示为 Im∈R 式中Im为m阶单位矩阵 证明因为{g1}m1是R空间的一组基,所以有 9 9 gm)≠0 按线性代数的结论,即有 即{g}1与其对偶基{g3}m1是一一对应的,因此对偶基是存在且唯一存在的张量分析讲稿谢锡麟 张量定义及其代数运算 谢锡麟 性质 1.1 (简单张量线性性质). 以三阶简单张量为例, 可有: ξ ⊗ (αη˜ + βηˆ) ⊗ ζ = αξ ⊗ η˜ ⊗ ζ + βξ ⊗ ηˆ ⊗ ζ ∈ T 3 (R m), ∀ α, β ∈ R. 证明 对 ∀u, v, w ∈ R m, 计算 ξ ⊗ (αη˜ + βηˆ) ⊗ ζ(u, v, w) = (ξ,u)Rm (αη˜ + βηˆ, v)Rm (ζ, w)Rm = α (ξ,u)Rm (η˜, v)Rm (ζ, w)Rm + β (ξ,u)Rm (ηˆ, v)Rm (ζ, w)Rm = αξ ⊗ η˜ ⊗ ζ(u, v, w) + βξ ⊗ ηˆ ⊗ ζ(u, v, w) = (αξ ⊗ η˜ ⊗ ζ + βξ ⊗ ηˆ ⊗ ζ)(u, v, w). 易见, 对构成简单张量的各个向量都具有上述线性性. 1.2 对偶基与向量的表示 本节引入对偶基, 可说明有限维 Euclid 空间中的任意一个基唯一确定其对偶基. 由此, 任意 一个向量既可由原有的基表示, 亦可由其对偶基表示. 进一步, 由于原有的基确定其对偶基, 则一 个向量相对于原有的基及其对偶基的分量之间必然存在关联. 定理 1.2 (对偶基的存在唯一性). 设 {gi} m i=1 为 R m 空间的一组基, 则必然唯一存在另外一 组基 {g i} m i=1, 满足: ( gi , g j ) Rm = δ j i . 用矩阵运算可以表示为   g T 1 . . . g T m   ( g 1 · · · g m ) = Im ∈ R m×m, 式中 Im 为 m 阶单位矩阵. 证明 因为 {gi} m i=1 是 R m 空间的一组基, 所以有 det   g T 1 . . . g T m   = det ( g1 · · · gm ) ̸= 0. 按线性代数的结论, 即有 ( g 1 · · · g m ) =   g T 1 . . . g T m   −1 Im =   g T 1 . . . g T m   −1 ∈ R m×m, 即 {gi} m i=1 与其对偶基 {g i} m i=1 是一一对应的, 因此对偶基是存在且唯一存在的. 2