张量定义及其代数运算 谢锡麟 可称基{9}m1为基{9}m1的对偶基.通常,将指标为下标的基向量g(=1,…,m)称 为协变基向量,{g1}m1称为协变基;将指标为上标的基向量g(i=1,……,m)称为逆变基向量, {g}1称为逆变基 设有E∈Rm,由于{g2}=1为Rm中的协变基,则有 式中称为向量￡的逆变分量.上式两端对g3做内积,有 (5g)gm=∑(9,9)gm=∑6= 即有 5=(5, 9)Rm 为了表示上的简洁,引入 Einstein求和约定( Einstein summation convention)-—略去求 和号,用一上一下的重复指标表示求和.在 Einstein求和约定下,上面的求和式可以表示为 s9,=s 协变基{9;}1的对偶基{g2}m1同样为Rm空间的基,因此也有 92=sg2,52=(,91) i=1 式中5;称为向量￡的协变分量 引入 9=(9:9)m,9=(g2,9)Rm 然有 则有协变基与逆变基的转换关系 (g1,9)mg=99 g 再考虑到基的对偶关系,可得 =(9;,y3)m=(9ng3,yg)Rm=9py 亦即,矩阵(o)∈R×m和(y)∈R×m互逆同样向量的分量也遵循类似的转换关系 s=(5,94)m=(5,yg)m=9(5,91)Rm=95 51=(,9)m=(,9193)m=9(E,9)m=95 ①另外本书约定,如果一个式子中的重复指标超过2个,则 Einstein求和约定对这些指标失效张量分析讲稿谢锡麟 张量定义及其代数运算 谢锡麟 可称基 {g i} m i=1 为基 {gi} m i=1 的对偶基. 通常, 将指标为下标的基向量 gi (i = 1, · · · , m) 称 为协变基向量, {gi} m i=1 称为协变基；将指标为上标的基向量 g i (i = 1, · · · , m) 称为逆变基向量, {g i} m i=1 称为逆变基. 设有 ∀ ξ ∈ R m, 由于 {gi} m i=1 为 R m 中的协变基, 则有 ξ = ∑m i=1 ξ i gi , 式中 ξ i 称为向量 ξ 的逆变分量. 上式两端对 g j 做内积, 有 ( ξ, g j ) Rm = ∑m i=1 ξ i ( gi , g j ) Rm = ∑m i=1 ξ i δ j i = ξ j , 即有 ξ i = ( ξ, g i ) Rm . 为了表示上的简洁, 引入 Einstein 求和约定 (Einstein summation convention)——略去求 和号, 用一上一下的重复指标表示求和➀. 在 Einstein 求和约定下, 上面的求和式可以表示为 ξ = ∑m i=1 ξ i gi = ξ i gi . 协变基 {gi} m i=1 的对偶基 {g i} m i=1 同样为 R m 空间的基, 因此也有 ξ = ∑m i=1 ξig i = ξig i , ξi = (ξ, gi )Rm , 式中 ξi 称为向量 ξ 的协变分量. 引入 gij = (gi , gj )Rm, gij = (g i , g j )Rm, 显然有 gij = gji, gij = g ji , 则有协变基与逆变基的转换关系 gi = (gi , gj )Rmg j = gijg j , g i = (g i , g j )Rmgj = g ijgj . 再考虑到基的对偶关系, 可得 δ i j = (gi , g j )Rm = (gipg p , gqjgq )Rm = gipg pj , 亦即, 矩阵 ( gij) ∈ R m×m 和 ( g ij) ∈ R m×m 互逆. 同样向量的分量也遵循类似的转换关系 ξ i = (ξ, g i )Rm = (ξ, gijgj )Rm = g ij (ξ, gj )Rm = g ijξj , ξi = (ξ, gi )Rm = (ξ, gijg j )Rm = gij (ξ, g j )Rm = gijξ j . ➀ 另外本书约定, 如果一个式子中的重复指标超过 2 个, 则 Einstein 求和约定对这些指标失效. 3