选η充分小,使它小于.对于第一个积分 ∫。 g(t)sin ptt 它是 Riemann可积的,因此 g(tsin ptt 可选P充分大,使 tdel< 这样就完成了引理证明 推论:若f(x)在[a,b上绝对可积,则它的 Fourier系数an,bn→>0(m→>+∞) 3.3局部化定理( Riemann) 定理:以2x为周期的绝对可积的函数∫(x),在一点x0处的收敛及发散的性质只与函数 f(x)在点x0附近的性质有关 证明:Vδ>0,不妨设δ<丌,我们考虑部分和 sin n+ S(,x)=U(x+)+/(-) 在l2中,函数 f(x0+1)+f(x0-1) 在[6,丌绝对可积,由 Riemann- Lebesgue引理, 2 12→0当n→+∞时.这样 lim S,(, xo)=lim 1, n→+① 月→,+①0 1仅与∫(x)在x0的邻域(x0-8,x0+6)性质有关,证毕 注:事实上 sin n+ im S, (, x,)=im -[v(x+0) +/(3-o]- 2)dr 为此我们注意到 152152 选h 充分小, 使它小于 2 e . 对于第一个积分 ò b-h a g(t)sin ptdt , 它是 Riemann 可积的, 因此 ò - ®+¥ = b h p a lim g(t)sin ptdt 0 . 可选 p 充分大, 使 2 ( )sin h e < ò b- a g t ptdt . 这样就完成了引理证明. 推论：若 f (x) 在[a, b]上绝对可积, 则它的 Fourier 系数a ,b ® 0(m ® +¥) m m . 3.3 局部化定理（Riemann） 定理：以 2p 为周期的绝对可积的函数 f (x) , 在一点 0 x 处的收敛及发散的性质只与函数 f (x) 在点 0 x 附近的性质有关. 证明："d > 0, 不妨设d <p , 我们考虑部分和 [ ] . 2 2sin 2 1 sin ( ) ( ) 1 ( , ) 1 2 0 0 0 0 0 I I dt t n t S f x f x t f x t n = + = + ÷ ø ö ç è æ + = + + - ò ò ò p d d p p 在 2 I 中, 函数 2 2sin ( ) ( ) 0 0 t f x + t + f x -t 在 [d ,p ] 绝对可积, 由 Riemann-Lebesgue 引理, I 2 ® 0 当n ® +¥ 时. 这样 0 1 lim S ( f , x ) lim I n n n®+¥ ®+¥ = , 1 I 仅与 f (x) 在 0 x 的邻域( , ) 0 0 x - d x + d 性质有关, 证毕. 注：事实上 [ ] . 2 1 sin ( ) ( ) 1 lim ( , ) lim 0 0 0 0 dt t n t S f x f x t f x t n n n ÷ ø ö ç è æ + = + + - ®+¥ ®+¥ ò d p 为此我们注意到