课程目标与内容(Course objectives and contents) 复数及其表示、复平面与复球面、曲线与区域 基本要求：熟悉复数、复平面、扩充复平面与复球面的概念，了解各类区域和曲线的概念 A4,A5,C1,C3,Dl,D2) 2.复变函数的极限与连续性、导数与柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件、共轭调和函数 解析函数、初等数 甚本要求：掌握复变函数的极限与连续性、可导与解析的将念，Cauchy-Ricmann方程（务 件)与可导（解析）的充要条件：熟悉初等解析函数及初等多值函数。(A4,B1,B2,B3,B4 C1.C3.C5.DL.D2.D3) 3.复变函数的积分.柯西定理与柯西积分公式.草物拉(M0rra】定理.刘组尔(Liov 定理与代数基本定理 基本要求：熟恶复变函数积分的定义和本性质，掌程Cacy(积分)定理、Cau©y(积 分)公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy不等式、Liouville定理、Morera定理、以及解 析函数与调和函数的关系。(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D1,D2,D3) 4.复数项级数与复变函数项级数。绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、可级数上 泰勒(Taylor)展式、罗朗(Laurent)展式。解析函数的立奇点与唯性、最大摸原理 解析函 的分类与在无穷远点的性质、施瓦尔兹((Schwar)写引理 基本要求：熟悉复数项级数和复☑数项级数的基本性质，草握复函数项级数的Cucy一 收敛准则及优级数准则、内闭一致收敛和Weierstrass定理、幂级数的Ab定理和收敛半径 *课程目标的计算；掌握解析函数的Taylor展开定理，熟悉一些常用初等函数的Taylor展式：掌握解 Course obiec0析函数的零点孤立性及唯一性定理、最大模原理：掌握解析函数的Laurent展开定理.会求 些函数的Laurent展式，掌解析函数孤立奇点（包括无穷远点）的分类以及S hwa 3引理；了解整硒数和亚纯函数的瓶念以及Picard定理(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D D2,D3) 5.留数与留数定理、幅角原理与儒欧(Roucheé)定理、用留数计算某些类型的积分 甚本要求：熟悉留数的概念，会进行留数的计算；特别强调会用留数定理计算一些典型 复积分和实积分：掌握幅角原理及儒欧定理(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D1,D2,D3) 共形映射、分式线形变换与某些切等通数构成的共形映射、黎曼映照定理与边界对应 甚本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性：熟悉 分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一些初等函数 所构成的映射构造某些区域间的共形映射：了解Ricma 映照定理与边思对应理(A4 B1,B2.B,B4,C1C3.C5.D1,D2.D3 7.解析延拓的概念与用系级数的解析延拓、对称原理、黎曼面的概念，沿曲线的解析延托 与单值性定理 基本要求：掌握解析开拓的概念及幂级数方法，了解Painlevej连续开拓原理及 Riemann--Schwarz对称原理；了解完全解析数、Riemann面的概念、沿曲线的解析开拓以 及单值性定理.(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D1,D2,D3) 教学内容讲度 安排及对应课 章节 教学内容（要 学时 作业及考课程思政融入对应课程目 程目标(Clas 点) 教学形式 核要求 点 标 课程目标与内容（Course objectives and contents） *课程目标 (Course Object) 1. 复数及其表示、复平面与复球面、曲线与区域 基本要求：熟悉复数、复平面、扩充复平面与复球面的概念，了解各类区域和曲线的概念。 (A4, A5, C1, C3, D1, D2) 2. 复变函数的极限与连续性、导数与柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件、共轭调和函数与 解析函数、初等函数 基本要求：掌握复变函数的极限与连续性、可导与解析的概念，Cauchy-Riemann 方程（条 件）与可导（解析）的充要条件；熟悉初等解析函数及初等多值函数。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 3. 复变函数的积分、柯西定理与柯西积分公式、莫勒拉（Morera）定理、刘维尔（Liouville） 定理与代数基本定理 基本要求：熟悉复变函数积分的定义和基本性质，掌握 Cauchy（积分）定理、Cauchy（积 分）公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy 不等式、Liouville 定理、Morera 定理、以及解 析函数与调和函数的关系。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 4. 复数项级数与复变函数项级数、绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、幂级数与 泰勒（Taylor）展式、罗朗（Laurent）展式、解析函数的孤立奇点与唯一性、最大摸原理、 解析函数孤立奇点的分类与在无穷远点的性质、施瓦尔兹（Schwarz）引理 基本要求：熟悉复数项级数和复函数项级数的基本性质，掌握复函数项级数的 Cauchy 一致 收敛准则及优级数准则、内闭一致收敛和 Weierstrass 定理、幂级数的 Abel 定理和收敛半径 的计算；掌握解析函数的 Taylor 展开定理，熟悉一些常用初等函数的 Taylor 展式；掌握解 析函数的零点孤立性及唯一性定理、最大模原理；掌握解析函数的 Laurent 展开定理，会求 一些函数的 Laurent 展式，掌握解析函数孤立奇点（包括无穷远点）的分类以及 Schwarz 引理；了解整函数和亚纯函数的概念以及 Picard 定理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 5. 留数与留数定理、幅角原理与儒歇（Rouché）定理、用留数计算某些类型的积分 基本要求：熟悉留数的概念，会进行留数的计算；特别强调会用留数定理计算一些典型的 复积分和实积分；掌握幅角原理及儒歇定理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 6. 共形映射、分式线形变换与某些初等函数构成的共形映射、黎曼映照定理与边界对应原 理 基本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性；熟悉 分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一些初等函数 所构成的映射构造某些区域间的共形映射；了解 Riemann 映照定理与边界对应原理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 7. 解析延拓的概念与用幂级数的解析延拓、对称原理、黎曼面的概念、沿曲线的解析延拓 与单值性定理 基本要求：掌握解析开拓的概念及幂级数方法，了解 Painlevé连续开拓原理及 Riemann-Schwarz 对称原理；了解完全解析函数、Riemann 面的概念、沿曲线的解析开拓以 及单值性定理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) *教学内容进度 安排及对应课 程目标 (Class Schedule & 章节 教学内容（要 点） 学时 教学形式 作业及考 核要求 课程思政融入 点 对应课程目 标