上海交通大学：数学科学学院专业课《复分析》课程教学大纲.pdf_大学文库

《复分析》课程教学大纲课程基本信息（Course Information）课程代码（Course Code） MATH2609 *学时（Credit Hours） 64 *学分（Credits） 4 *课程名称（Course Name）（中文）复分析（英文）Complex Analysis 课程类型 (Course Type) 专业必修课授课对象（Target Audience）本科生授课语言 (Language of Instruction) 全中文 *开课院系（School）数学科学学院先修课程（Prerequisite）数学分析后续课程 (post）复变函数续论 *课程负责人（Instructor）余军扬课程网址 (Course Webpage) *课程简介（中文）（Description）复分析是数学分析的一门后继课程，也是全日制大学数学专业本科生必修的一门专业基础课，通常放在大学二年级数学分析的主要内容学习完之后开设。复分析（又称复变函数论）是经过数个世纪发展起来的一门数学学科，且很多方面发展得相当成熟，结果也相当丰富。通过学习，可以使学生更进一步感受数学之美。同时复分析也是和实际相联系的一门学科，一些平面上（甚至更广）的实际问题可以用复变函数建立模型并加以解决。本课程属于数学基础课程，和数学分析有一些相通之处，但也有着本质的不同。推广与创新是数学乃至科学研究中的一个很通用的模式，学习复分析这门课程正是体验这种模式、培养这种研究能力的一个方法。复分析的基本内容包括：复变函数的极限与连续性、导数与积分、级数、留数、共形映射、解析延拓等。 *课程简介（英文）（Description） Complex Analysis is a continuation of Mathematical Analysis (Calculus). The theory extends and develops Calculus from the real domain to the complex domain. In this course we will introduce the following contents for undergraduates: limits and continuity of functions of one complex variable, analytic functions and complex integration, complex series, residues, conformal mappings and analytic continuation

课程目标与内容(Course objectives and contents) 复数及其表示、复平面与复球面、曲线与区域基本要求：熟悉复数、复平面、扩充复平面与复球面的概念，了解各类区域和曲线的概念 A4,A5,C1,C3,Dl,D2) 2.复变函数的极限与连续性、导数与柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件、共轭调和函数解析函数、初等数甚本要求：掌握复变函数的极限与连续性、可导与解析的将念，Cauchy-Ricmann方程（务件)与可导（解析）的充要条件：熟悉初等解析函数及初等多值函数。(A4,B1,B2,B3,B4 C1.C3.C5.DL.D2.D3) 3.复变函数的积分.柯西定理与柯西积分公式.草物拉(M0rra】定理.刘组尔(Liov 定理与代数基本定理基本要求：熟恶复变函数积分的定义和本性质，掌程Cacy(积分)定理、Cau©y(积分)公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy不等式、Liouville定理、Morera定理、以及解析函数与调和函数的关系。(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D1,D2,D3) 4.复数项级数与复变函数项级数。绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、可级数上泰勒(Taylor)展式、罗朗(Laurent)展式。解析函数的立奇点与唯性、最大摸原理解析函的分类与在无穷远点的性质、施瓦尔兹((Schwar)写引理基本要求：熟悉复数项级数和复☑数项级数的基本性质，草握复函数项级数的Cucy一收敛准则及优级数准则、内闭一致收敛和Weierstrass定理、幂级数的Ab定理和收敛半径 *课程目标的计算；掌握解析函数的Taylor展开定理，熟悉一些常用初等函数的Taylor展式：掌握解 Course obiec0析函数的零点孤立性及唯一性定理、最大模原理：掌握解析函数的Laurent展开定理.会求些函数的Laurent展式，掌解析函数孤立奇点（包括无穷远点）的分类以及S hwa 3引理；了解整硒数和亚纯函数的瓶念以及Picard定理(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D D2,D3) 5.留数与留数定理、幅角原理与儒欧(Roucheé)定理、用留数计算某些类型的积分甚本要求：熟悉留数的概念，会进行留数的计算；特别强调会用留数定理计算一些典型复积分和实积分：掌握幅角原理及儒欧定理(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D1,D2,D3) 共形映射、分式线形变换与某些切等通数构成的共形映射、黎曼映照定理与边界对应甚本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性：熟悉分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一些初等函数所构成的映射构造某些区域间的共形映射：了解Ricma 映照定理与边思对应理(A4 B1,B2.B,B4,C1C3.C5.D1,D2.D3 7.解析延拓的概念与用系级数的解析延拓、对称原理、黎曼面的概念，沿曲线的解析延托与单值性定理基本要求：掌握解析开拓的概念及幂级数方法，了解Painlevej连续开拓原理及 Riemann--Schwarz对称原理；了解完全解析数、Riemann面的概念、沿曲线的解析开拓以及单值性定理.(A4,B1,B2,B3,B4,C1,C3,C5,D1,D2,D3) 教学内容讲度安排及对应课章节教学内容（要学时作业及考课程思政融入对应课程目程目标(Clas 点) 教学形式核要求点标

课程目标与内容（Course objectives and contents） *课程目标 (Course Object) 1. 复数及其表示、复平面与复球面、曲线与区域基本要求：熟悉复数、复平面、扩充复平面与复球面的概念，了解各类区域和曲线的概念。 (A4, A5, C1, C3, D1, D2) 2. 复变函数的极限与连续性、导数与柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件、共轭调和函数与解析函数、初等函数基本要求：掌握复变函数的极限与连续性、可导与解析的概念，Cauchy-Riemann 方程（条件）与可导（解析）的充要条件；熟悉初等解析函数及初等多值函数。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 3. 复变函数的积分、柯西定理与柯西积分公式、莫勒拉（Morera）定理、刘维尔（Liouville）定理与代数基本定理基本要求：熟悉复变函数积分的定义和基本性质，掌握 Cauchy（积分）定理、Cauchy（积分）公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy 不等式、Liouville 定理、Morera 定理、以及解析函数与调和函数的关系。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 4. 复数项级数与复变函数项级数、绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、幂级数与泰勒（Taylor）展式、罗朗（Laurent）展式、解析函数的孤立奇点与唯一性、最大摸原理、解析函数孤立奇点的分类与在无穷远点的性质、施瓦尔兹（Schwarz）引理基本要求：熟悉复数项级数和复函数项级数的基本性质，掌握复函数项级数的 Cauchy 一致收敛准则及优级数准则、内闭一致收敛和 Weierstrass 定理、幂级数的 Abel 定理和收敛半径的计算；掌握解析函数的 Taylor 展开定理，熟悉一些常用初等函数的 Taylor 展式；掌握解析函数的零点孤立性及唯一性定理、最大模原理；掌握解析函数的 Laurent 展开定理，会求一些函数的 Laurent 展式，掌握解析函数孤立奇点（包括无穷远点）的分类以及 Schwarz 引理；了解整函数和亚纯函数的概念以及 Picard 定理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 5. 留数与留数定理、幅角原理与儒歇（Rouché）定理、用留数计算某些类型的积分基本要求：熟悉留数的概念，会进行留数的计算；特别强调会用留数定理计算一些典型的复积分和实积分；掌握幅角原理及儒歇定理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 6. 共形映射、分式线形变换与某些初等函数构成的共形映射、黎曼映照定理与边界对应原理基本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性；熟悉分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一些初等函数所构成的映射构造某些区域间的共形映射；了解 Riemann 映照定理与边界对应原理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) 7. 解析延拓的概念与用幂级数的解析延拓、对称原理、黎曼面的概念、沿曲线的解析延拓与单值性定理基本要求：掌握解析开拓的概念及幂级数方法，了解 Painlevé连续开拓原理及 Riemann-Schwarz 对称原理；了解完全解析函数、Riemann 面的概念、沿曲线的解析开拓以及单值性定理。(A4, B1, B2, B3, B4, C1, C3, C5, D1, D2, D3) *教学内容进度安排及对应课程目标 (Class Schedule & 章节教学内容（要点）学时教学形式作业及考核要求课程思政融入点对应课程目标