§25.3 Sturm- Liouville型方程本征值问题的简并现象 第8页 §25.3 Stur- Liouville型方程本征值问题的简并现象 对应一个本征值有不只一个(线性无关的)本征函数的现象,称为简并或退化 由于S-L型方程是二阶线性常微分方程,所以,对应一个本征值最多只能有两个(线 性无关的)本征函数 在什么条件下,S-L型方程的本征值问题是简并的?在什么条件下是非简并的? 定理25.3如果SL型方程本征值问题的一个本征函数是复的,且其实部和虚部线性无关, 则此本征值问题是二重简并的 证根据定理所设,本征函数y(x)是复的,其实部和虚部分别为f(x)和g(x), y(a)= f()+ig(r) 则SL型方程可以写成 L(f +ig)= Ap(f +ig) 由于算符L是实算符,权重函数p(x)是实函数,且本征值A为实数,故将上式分别比较实部和虚 部,就得到 这说明f(x)和g(x)都是对应于同一个本征值A的本征函数,它们的线性无关性在定理的已知条 件中已经作了明确的限定 还必须证明f(x)和g(x)也满足原本征值问题的边界条件,这时只要注意到边界条件也是线 性齐次的,并且可能出现的系数也是实数,于是在边界条件中也分别比较实部和虚部即可.口 定理25.4设(x)和v(x)都是SL型方程本征值问题 的两个实的线性无关的本征函数,并且在x=a和x=b点都单独满足边界条件 p(( p()(yi 则1(x)和y2(x)不可能对应于同一个本征值 证用反证法.设n(x)和v2(x)对应于同一个本征值A, Ly2= Apy2 因此 91 Ly2-y2Ly1=0 注意v(x)和()都是实函数,(x)=1(x),(x)=m(x),所以根据上节定理1的推论,就有 d// 于是 p(r)(y =常数CWu Chong-shi §25.3 Sturm–Liouville ✃❐❒❢❣❤✐❥❡②③④⑤ ❦ 8 ❧ §25.3 Sturm–Liouville ✶✷✸✓✔✕✖✗✒⑥⑦⑧⑨ ✲à✥✸ ➩➫➭✺➏➦ ✥ ✸ (✘t➀✏✫) ➩➫✦✧✫❝⑩✰ ✽ ✜✟➉❩❶✆❂ Û ✳ S–L ✿➂➨✾❱❺✘t③✬✭➂➨✰❄❅✰✲à✥✸ ➩➫➭❷❸➦➐ ✺ ✷✸ (✘ t➀✏✫) ➩➫✦✧❂ ✤♥♦●❍s✰ S–L ✿➂➨✫➩➫➭➯➲✾✟➉✫ q✤♥♦●❍s✾ç ✟➉✫ q ✘❣ 25.3 ◆❖ S–L ✿➂➨➩➫➭➯➲✫✥✸ ➩➫✦✧✾➥✫✰➊❨➆❹✛❺❹✘t➀✏✰ ✼ ➅➩➫➭➯➲✾❱Ï ✟➉✫❂ Ø ■❻✢❯ ❄ ✚✰➩➫✦✧ y(x) ✾➥✫✰❨➆❹✛❺❹✭ ✄ ✜ f(x) ✛ g(x) ✰ y(x) = f(x) + ig(x). ✼ S–L ✿➂➨➃❅ ➻➟ L(f + ig) = λρ(f + ig). Û ✳✮✯ L ✾➆✮✯✰❃ Ï ✦✧ ρ(x) ✾➆✦✧✰➊➩➫➭ λ ✜➆✧✰t➝⑩➤✭✄ ❼❽➆❹✛❺ ❹✰❪Ýã Lf = λρf, Lg = λρg. ➳✬ ❚ f(x) ✛ g(x) ❇✾✲à✳r✥✸ ➩➫➭ λ ✫➩➫✦✧✰❫⑤✫✘t➀✏t✤✢❯✫ ➚❾● ❍ ❑➚➪❿➘ ❚➺✫➈✢❂ ➋Õ➀❙ ❚ f(x) ✛ g(x) P❈❉➁➩➫➭➯➲✫❊❋●❍❂➳■➦ ⑥ â✶ã❊❋●❍P✾✘ t➽➾✫✰➉➊➃➐ ➼❝✫✇✧P✾➆✧✰✳✾✤❊❋●❍ ❑P✭✄ ❼❽➆❹✛❺❹✻➃❂ ✘❣ 25.4 ✚ y1(x) ✛ y2(x) ❇✾ S–L ✿➂➨➩➫➭➯➲ Ly(x) = λρ(x)y(x). ✫ ✷✸➆✫✘t➀✏✫➩➫✦✧✰➉➊✤ x = a ✛ x = b ✰❇✠➂❈❉❊❋●❍ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=a = p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=b = 0, (#) ✼ y1(x) ✛ y2(x) ➏ ➃ ➐ ✲à✳r✥✸ ➩➫➭ λ ❂ Ø ✑ ❏❙➃❂✚ y1(x) ✛ y2(x) ✲à✳r✥✸ ➩➫➭ λ ✰ Ly1 = λρy1, Ly2 = λρy2, ▼➅ y1Ly2 − y2Ly1 = 0, â✶ y1(x) ✛ y2(x) ❇✾➆✦✧✰y ∗ 1 (x) = y1(x) ✰y ∗ 2 (x) = y2(x) ✰ ❄❅■❻⑩✎✢❯ 1 ✫❦↔✰❪✺ d dx  p(x)  y1 dy2 dx − y2 dy1 dx  = 0. ✳✾ p(x)  y1 dy2 dx − y2 dy1 dx  = ③✧ C.