orville型方程的本征值问题 第7页 在什么情况下,边界条件()能够成立? ·第一种情况是在端点x=a和x=b,均有 如果犰和y在两端点均满足第一、二、三类边界条件,则(△)式成立 例如,在x=a ayi(a)-Bv(a)=0,i=1,2,a和β均为(正)实数 取复共轭,还可以得出 )-6v(a)=0, 1 由于a和B不可能同时为0,故有 yi(a) yi(a) yi(a)2(a)-y2(ad(a)=0 y2(a) y(a) 2.如果p(x)在端点(例如,x=a)处为0,这时x=a点是方程的奇点.假定p(x),q(x)和 p(x)满足一定的要求,使得r=a点是方程的正则奇点,而且第一解有界,第二解无界 在附加上有界条件去掉无界解后,就有 (- 例如 p(a)=0,p(a)≠0,p(x)和(x-a)q(x)均在x=a点解析 p(a)=0,p(a)=0,p(a)≠0,p(x)和q(x)均在x=a点解析 这在我们讨论过的实际问题中是能够满足的 ·另一种情况是 p(r)yi dx 但不为0,这时(△)式也成立.如果 p(a)=p(b), q(a)=q(b), p(a)=p(b) 并且 v(a)=v(b),v(a)=v(b),i=1,2, 显然就可以满足这个要求.这正是讨论过的周期条件的情形Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 7 ❧ ✤♥♦✚♣s✰❊❋●❍ (~) ➐ ❷➟✩ q • r✥✖✚♣✾✤s✰ x = a ✛ x = b ✰ ú ✺ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx  = 0. (M) 1. ◆❖ y1 ✛ y2 ✤ ✷ s✰ú ❈❉r✥❯❱❯❲❳❊❋●❍✰✼ (M) ➤➟✩❂ ♥◆✰✤ x = a ✰✰ αyi(a) − βy0 i (a) = 0, i = 1, 2, α ✛ β ú ✜ (Þ) ➆✧✰ ➞➥ÙÚ✰➋➃❅ Ý➼ αy∗ i (a) − βy∗ i 0 (a) = 0, i = 1, 2. Û ✳ α ✛ β ➏ ➃ ➐ r ■ ✜ 0 ✰t✺     y ∗ 1 (a) y ∗0 1 (a) y2(a) y 0 2 (a)     = y ∗ 1 (a)y 0 2 (a) − y2(a)y ∗0 1 (a) = 0. 2. ◆❖ p(x) ✤s✰ (♥◆✰ x = a) ✉✜ 0, ➳■ x = a ✰✾➂➨✫✭✰❂ ❩ ✢ p(x), q(x) ✛ ρ(x) ❈❉✥✢✫⑥⑦✰íÝ x = a ✰✾➂➨✫Þ✼ ✭✰✰➜➊r✥å✺❋✰r❱å➀❋❂ ✤❜✞⑩✺❋●❍✈ ✕ ➀❋å✇✰❪✺ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=a = 0. ♥◆ p(a) = 0, p0 (a) 6= 0, ρ(x) ✛ (x − a)q(x) ú ✤ x = a ✰å① ❩ p(a) = 0, p0 (a) = 0, p00(a) 6= 0, ρ(x) ✛ q(x) ú ✤ x = a ✰å①, ➳ ✤④⑤➣↔✻✫➆➇➯➲ ❑✾➐ ❷❈❉✫❂ • ➛✥✖✚♣✾ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=a = p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=b , ➙ ➏ ✜ 0 ✰ ➳■ (M) ➤P➟✩❂◆❖ p(a) = p(b), q(a) = q(b), ρ(a) = ρ(b), ➉➊ yi(a) = yi(b), y0 i (a) = y 0 i (b), i = 1, 2, ❞Ö❪➃❅ ❈❉➳✸⑥⑦❂➳ Þ✾➣↔✻✫❬❭●❍✫✚➢❂