2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设函数f(x)=m02+0m,则f(x)的零点个数() (B)1 (C)2 分析:f(x)=ln(2+x2)2x=2xn(2+x2) f"(x)=2ln(2+x2)+ 24x220,恒大于,所以(x)在(-∞,+∞)上是单调递增的 又因为0)=0,根据其单调性可知f(x)只有一个零点 (2)函数f(x,y)= arctan=在点(01)处的梯度等于() (4) 解:(4) 分析:由f=-= f(01)=;=1 f(0.l)=0 所以 gradf(0,1)=1×i+0×j=i (3)在下列微分方程中,以y=C1e2+C2C0s2x+C3Sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为 通解的是() (4)y+y2-4y-4y=0 (B)y"+y”+4y+4y=0 4y+4y=0 +4y-4y=0 第1页共13页第 1 页 共 13 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 2 0 ( ) ln(2 ) x f x t dt = +  ，则 f x ( ) 的零点个数（ ） ( A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解： (B). 分析： 2 2 f x x x x x ( ) ln(2 ) 2 2 ln(2 ) = +  = + 2 2 2 4 ( ) 2ln(2 ) 0 2 x f x x x  = + +  + ，恒大于 0，所以 f x ( ) 在 ( , ) − + 上是单调递增的. 又因为 f (0) 0 = ，根据其单调性可知 f x ( ) 只有一个零点. （2）函数 ( , ) arctan x f x y y = 在点 (0,1) 处的梯度等于（ ） ( A) i (B) -i (C) j (D) − j 解； ( A). 分析：由 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , (0,1) 1. 1 1 x x y y y f f x x y x y y y = = = = = + + + 2 2 2 2 2 , (0,1) 0. 1 y y x y x f f x x y y − − = = = + + 所以 gradf i j i (0,1) 1 0 . =  +  = （3）在下列微分方程中，以 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + （ 1 2 3 C C C , , 为任意常数）为 通解的是（ ） ( A) y y y y    + − − = 4 4 0 . (B) y y y y    + + + = 4 4 0 . (C) y y y y    − − + = 4 4 0 . (D) y y y y    − + − = 4 4 0 . 解： (D)