2°辅助函数H(x)=a f(a) f(b)f(x) I(b)-f(a)f(x)-f(a) 例3证明对vh>-1h≠0,有 h In(1+h)<h 1+h 证[法一令f(x)=h(1+x),在[0h或h0上利用 Lagrange中值定 理可证之 [法二]令f(x)=hx,在1+h或+h上利用 Lagrange中值 定理可证之 推论1若f在区间1上可导,f(x)=0,x∈1,则f在/上为常数 推论2若f,g都在区间上可导,且x∈1,f(x)=g(x),则在上, f与g仅相差一个常数,即存在常数C,使对vx∈有 f(x)=g(x)+C 推论3(导数极限定理)设∫在x的某邻域U(x)内连续,在 (x)内可导,且lmf(x)存在,则f(x0)存在,且 f(ro=limf(x) x→x0 注(i)由导数极限定理不难得出区间(a,b)上导函数f(x)不会 有第一类间断点 (i)导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导 数. 例4证明恒等式 arcsin x+ arccos= arctan x+ arc cotx= 2 例5求f(x) +smx2,x≤0的导数 ln(1+x),x>02º 辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) f b f a f x f a b a x a f a f b f x H x a b x − − − − = = 例 3 证明对 h  −1, h  0, 有 h h h h  +  + ln(1 ) 1 证 [法一]令 f (x) = ln(1+ x), 在 [0, h] 或 [h,0] 上利用Lagrange 中值定 理可证之. [法二]令 f (x) = ln x, 在 [1,1+ h] 或 [1+ h,1] 上利用 Lagrange 中值 定理可证之. 推论 1 若 f 在区间 I 上可导, f (x)  0, x I ,则 f 在 I 上为常数. 推论 2 若 f , g 都在区间 I 上可导, 且 x I, f (x) = g (x) ,则在 I 上, f 与 g 仅相差一个常数,即存在常数 C ,使对 xI 有 f (x) = g(x) + C 推论 3 (导数极限定理) 设 f 在 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内连续,在 ( ) 0 0 U x 内可导,且 ( ) lim 0 f x x x  → 存在,则 ( ) 0 f  x 存在,且 ( ) ( ) lim 0 f x f x x x o  =  → 注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间 (a, b) 上导函数 f (x) 不会 有第一类间断点. (ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导 数. 例 4 证明恒等式 2 , arctan cot 2 arcsin arccos   x + x = x + arc x = 例 5 求    +  +  = ln(1 ), 0 sin , 0 ( ) 2 x x x x x f x 的导数