7)(k+)8a=k+1)a(kla+1ay=(Vka+k2ay=(kea)ea) 8)k(aeb=k(a+Vb)=k(a+Vb)=(k2a+k3b)=(ksae(kb) 所以R关于此(不寻常的)加法与数量乘积成为线性空间 习题8.4 1①设是习题82的第二题中的线性变换,证明:1-2 是σ的一个特征向量 ②设σ是习题81的第三题中的线性变换.e-ex是不是σ的一个特征向量?cosx是不是σ的一 个特征向量? 证①设B= 根据习题82的第二题有 21)(1-2)(1-2 O(BAB= 所以 是o的一个特征向量 ②根据习题8.1的第三题有 (e-eF dt =e k-e*+(e-*x-e =0=0(e*-e-x) o( coSx F(cos x)dt=sinx -SINx 不存在数使cosx=2sinx 所以ex-ex是σ的一个特征向量.cox不是σ的一个特征向量 2求下列矩阵的所有特征值和属于每一个特征值的特征子空间的一个基 033 ①021 186 解①令队EAF04-2-1=0 得λ1=2,2=3,7) (k+l)a=(k+l) 3a=(k 3 a +l 3 a ) 3 =( 3 3 k a + 3 3 k a ) 3 = (ka)(la) 8) k(ab)= k( 3 a + 3 b ) 3=k 3( 3 a + 3 b ) 3=( 3 3 k a + 3 3 k b ) 3= (ka)(kb) 所以 R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间． 习题 8.4 1.①设σ是习题 8.2 的第二题中的线性变换，证明：        1 2 1 2 是σ的一个特征向量． ②设σ是习题 8.1 的第三题中的线性变换．e x-e -x是不是σ的一个特征向量？cosx 是不是σ的一 个特征向量？ 证 ① 设 B=        1 2 1 2 ，根据习题 8.2 的第二题有 σ(B)=AB=      1 0 2 1        1 2 1 2 =        1 2 1 2 =1B 所以        1 2 1 2 是σ的一个特征向量． ② 根据习题 8.1 的第三题有 σ(e x-e -x)=    x x t t (e e )dt =e x-e -x+(e -x-e x)=0=0(e x-e -x) σ(cosx)=  x x (cos x)dt =sinx+sinx=2sinx 不存在数λ使 λcosx=2sinx 所以 e x-e -x是σ的一个特征向量．cosx 不是σ的一个特征向量． 2.求下列矩阵的所有特征值和属于每一个特征值的特征子空间的一个基． ①        0 0 3 0 2 1 2 3 1 ②          2 14 10 1 8 6 0 3 3 ③           2 4 2 2 2 4 1 2 2 ④             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解 ①令 |λE-A|= 0 0 3 0 2 1 2 3 1        =0 得λ1=2，λ2=3