3设A,B∈ Matnxn(F),g(x)∈Fx].证明:如果A与B相似,则g(A)与g(B)也相似 证A与B相似,即存在可逆矩阵C,使CAC=B,从而 B2=(C-lAC)(C.lACFC-AC, B3=(C-AC)(C-ACFCA'C Bk=(C-Ak-IC)(C-lACFC-lAC i g(x=akx +ak-1x -+.+ aIx +ao Q g(B)ak Bk+ak-1Bk-1.+a1B+ aoE=akC-lA'C +ak-1 C-lAk-C++ar C-IA'C+aoE C-g(A)C 所以g(A)与g(B也相似 4.设A,B是n×n矩阵,证明:如果B是可逆的,则AB~-BA 证令C=B1,对AB右乘B,左乘B得 BABB-1=BA 所以ABBA 5∵设V是F上的线性变换,dim(V)=nn>2,σ是Ⅴ的一个线性变换,证明:如果σ在任何基下 的矩阵都相等,则σ是数乘变换 证设V的一个基为{β,β,…,βm},则{2B1,B2,…,}也是V的一个基,因G在任 何基下的矩阵都相等,设A=(a)nxm,则应有 o(B1)=a+apb2+…+anBn 另一方面,根据线性变换的性质应有 a(2B)=20(B1)=2aB+2aB2+…+2an|Bn (3) 比较(2)(3)式得a=a31=.=a1=0 类似地,可证明,当i时,a=0,即o在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵 又根据{B2,β1,β3,…,Bm}也是V的一个基,可得a2=a 类似地,可证明,当i≠j时,a=an,即o在任何基下的矩阵是数乘矩阵,σ是数乘变换 6取τ:R→R,τ(b=b3,τ是双射,按例832所定义的加法与数量乘积各是什么?证明:R 关于此(不寻常的)加法与数量乘积成为线性空间 解按例832所定义可得aeb=r(r(a)+r(b)=a+vb=va+vb) ka=(kr(a)=(k√a)=k2a 2)(aob)=(Va+Vb)ec=(Va+vb+Vc)=a@(bec) 3)a0=(a+0)=a 5)1a=1 6)(kl)@a=(kl)a= k(1a=l8(ka)3.设 A，B∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果 A 与 B 相似，则 g(A)与 g(B)也相似． 证 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 C，使 C -1AC=B，从而 B 2=(C -1AC) (C -1AC)= C -1A2C，B 3= (C -1A2C) (C -1AC)= C -1A3C，..., B k= (C -1Ak-1C) (C -1AC)= C -1AkC 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+ a1x 1+ a0 则 g(B)=akB k+ak-1B k-1+...+ a1B 1+ a0E= akC -1AkC +ak-1 C -1Ak-1C +...+ a1 C -1A1C + a0E = C -1g(A)C 所以 g(A)与 g(B)也相似． 4. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 B 是可逆的，则 AB~BA． 证 令 C= B -1，对 AB 右乘 B -1，左乘 B 得 BABB -1=BA 所以 AB~BA． 5 * .设 V 是 F 上的线性变换，dim(V)=n,n>2,σ是 V 的一个线性变换，证明：如果σ在任何基下 的矩阵都相等，则σ是数乘变换． 证 设 V 的一个基为{β1，β2，...，βn}，则{2β1，β2，...，βn}也是 V 的一个基，因σ在任 何基下的矩阵都相等，设 A=(aij)n×n，则应有 σ(β1)=a11β1+ a21β2+ ...+ an1βn （1） σ(2β1)=a112β1+ a21β2+ ...+ an1βn （2） 另一方面，根据线性变换的性质应有 σ(2β1)= 2σ(β1)=2a11β1+ 2a21β2+ ...+ 2an1βn （3） 比较（2）（3）式得 a21= a31=...= a21=0 类似地，可证明，当 i≠j 时，aij=0,即σ在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵． 又根据{β2，β1，β3，...，βn}也是 V 的一个基，可得 a12= a21 类似地，可证明，当 i≠j 时，aii= ajj，即σ在任何基下的矩阵是数乘矩阵，σ是数乘变换． 6 * .取τ：R→R，τ(b)=b 3，τ是双射，按例 8.3.2 所定义的加法与数量乘积各是什么？证明：R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间． 解 按例 8.3.2 所定义可得 ab=τ(τ -1(a)+ τ -1(b))= τ( 3 a + 3 b )=( 3 a + 3 b ) 3 ka=τ(kτ -1(a))= τ(k 3 a )=k 3a 1) ab==( 3 a + 3 b ) 3=( 3 b + 3 a ) 3= ba 2) (ab)c=( 3 a + 3 b ) 3c =( 3 a + 3 b + 3 c ) 3=a(bc) 3) a0=( 3 a +0) 3=a 4) a(-a)= ( 3 a + 3  a ) 3=0 5) 1a=1 3a=a 6) (kl) a=(kl) 3a= k(la)=l(ka)