定义t∈g(V),t(o(a1)=a,t(o(a2)=a2,,r(o(as)=as 则τ是c的逆 对任何的有序向量组{a,a2,…,an},都有唯一的线性变换σ,使得o(),/12笑 6设V是F上的有限维线性空间,(Ⅲ):{,2…,n}是V的一个有序向量组.证明:如 则{21,2,,n}是V的一个基 证若Ⅴ是零空间,V没有基,上述说法不成立 原题应设dm(V)=m≠0,此时,由题意知,每个引不等于零,否则取a≠0,有G(5)=a1 矛盾 假设n>m,则{,2,,ln}线性相关,即存在不全为零的数k,k2,,kn使 不妨设k1≠0,现取a1=251,=5,j=2,3,…,n,依题意,有唯一的线性变换o,使得o()=a 用G作用于上式两端得 21+k2+.+kn2n 出现矛盾,这说明{,2y,列n}线性无关.从而n≤m 假设nm,现将{,2,,lm}扩充成为V的一个基{,2,,m,l1,…m} 取α=,j=1,2,3,,n,定义两个线性变换σ,t如下 o(=a=5,j=1,2,3…,no(2)==n+1n+2,,m, r()0=b,j=1,2,3,n,t()=0,j=n+1,n+2,,m 从而()(5),j=1,2,3,,n,但显然σ≠τ,与题设矛盾.这说明只有n=m.故{,2,ln} 是V的一个基 习题8.3 1证明定理8.3.1,定理8.3.2 定理831的描述:矩阵相似有如下的性质:①(反身性)A~A②(对称性)如果B~A,则 A~B;③(传递性)如果C~BB~A,则C~A 证①令C=E,则C可逆且EAE=A,所以A~A: ②如果B~A,即存在可逆矩阵C,使CBC=A,则两边右乘C,左乘C,得 B=CAC 所以A~B ③如果C~B,B~A,即存在可逆矩阵P,Q使PCP=B,Q1BQ=A,则 (Q- P-)C(PQFA 所以C~A 定理832的描述:如果A~B,则①A=B;:②rank(A=ank(B 证①如果A~B,即存在可逆矩阵C,使CAC=B,两边取行列式得CA|CHB,因为 C|CF=1,所以AFBl ②由CBC=A得: ank(A)≤min{rank(CB)rank(C)}≤rank(CB)≤ minitank(C)rank(B)}≤rank(B) 又由B=CAC1得 rank(B)≤min{rank(CA)rank(C)}≤rank(CA)≤min{rank(C),rank(A)}≤rank(A) 所以rank(A)=rank(B). 2设A,B是n×n矩阵,证明:如果A~B,则AF=B,并且rank(A)=ank(B) 解与题1之②完全相同定义τ∈ℒ(V)，τ(σ(α1))= α1, τ(σ(α2))= α2,..., τ(σ(αs))= αs 则τ是σ的逆． 6 * .设 V 是 F 上的有限维线性空间，(Ⅲ)：{ξ1, ξ2,..., ξn}是 V 的一个有序向量组．证明：如果 对任何 V 的有序向量组{α1，α2，...，αn}，都有唯一的线性变换σ，使得σ(ξj)= αj，j=1,2,...,n， 则{ξ1, ξ2,..., ξn}是 V 的一个基． 证 若 V 是零空间，V 没有基，上述说法不成立． 原题应设 dim(V)=m≠0，此时，由题意知，每个ξj不等于零，否则取αj≠0，有σ(ξj)= αj, 矛盾． 假设 n>m，则{ξ1, ξ2,..., ξn}线性相关，即存在不全为零的数 k1, k2,..., kn,使 k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=0 不妨设 k1≠0，现取α1=2ξ1，αj=ξj，j=2,3,...,n, 依题意，有唯一的线性变换σ，使得σ(ξj)= αj 用σ作用于上式两端得 2k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=0 出现矛盾，这说明{ξ1, ξ2,..., ξn}线性无关．从而 n≤m． 假设 n<m，现将{ξ1, ξ2,..., ξn}扩充成为 V 的一个基{ξ1, ξ2,..., ξn, ξn+1, ...,ξm} 取αj=ξj，j=1,2,3,...,n,定义两个线性变换σ，τ如下 σ(ξj)= αj= ξj, j=1,2,3,...,n; σ(ξj)= ξj, j=n+1,n+2,...,m, τ(ξj)= αj= ξj, j=1,2,3,...,n; τ(ξj)= 0, j=n+1,n+2,...,m 从而σ(ξj)= τ(ξj)，j=1,2,3,...,n，但显然σ≠τ，与题设矛盾．这说明只有 n=m．故{ξ1, ξ2,..., ξn} 是 V 的一个基． 习题 8.3 1.证明定理 8.3.1，定理 8.3.2． 定理 8.3.1 的描述：矩阵相似有如下的性质：①（反身性）A~A;②（对称性）如果 B~A,则 A~B；③（传递性）如果 C~B,B~A,则 C~A． 证 ①令 C=E，则 C 可逆且 E -1AE=A，所以 A~A； ②如果 B~A,即存在可逆矩阵 C，使 C -1BC=A，则两边右乘 C -1，左乘 C，得 B=CAC -1 所以 A~B； ③ 如果 C~B,B~A,即存在可逆矩阵 P，Q 使 P -1CP=B，Q-1BQ=A，则 (Q-1P -1)C(PQ)=A 所以 C~A． 定理 8.3.2 的描述：如果 A~B,则①|A|=|B|；②rank(A)=rank(B)． 证 ①如果 A~B, 即存在可逆矩阵 C，使 C-1AC=B，两边取行列式得|C-1 ||A||C|=|B|，因为 |C-1 ||C|=1，所以|A|=|B|； ② 由 C-1BC=A 得： rank(A)≤min{rank(C-1B),rank(C)}≤rank(C-1B)≤min{rank(C-1),rank(B)}≤rank(B) 又由 B=CAC -1 得 rank(B)≤min{rank(CA),rank(C-1)}≤rank(CA)≤min{rank(C-1),rank(A)}≤rank(A) 所以 rank(A)=rank(B)． 2.设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 A ~B,则|A|=|B|，并且 rank(A)=rank(B)． 解 与题 1 之②完全相同．